Matura CKE Czerwiec 2022 – Matematyka Rozszerzona

Wiadomo, że $\log_5 2 = a$ i $\log_5 3 = b$. Wtedy liczba $\log_{18} 40$ jest równa

Granica $\lim_{x \to -3} \dfrac{0{,}5x^2+3{,}5x+6}{-x^2+2x+15}$ jest równa

Sumą wektorów $\vec{a} = \left[2 + 2m, \dfrac{2}{3}n + 1\right]$ oraz $\vec{b} = [n + 1, m + 2]$ jest wektor $\vec{c} = [0, 0]$. Wynika stąd, że

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach $5$ i $8$ jest równe $12$. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Wśród $390$ pracowników pewnej firmy jest $150$ kobiet i $240$ mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest $21$ kobiet i $43$ mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest mężczyzną.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x$
eq y, spełniona jest nierówność
$$x^4 + y^4 > xy(x^2 + y^2)$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Rozwiąż nierówność
$$\dfrac{3x + 1}{2x + 1} \leq \dfrac{3x + 4}{2x + 3}$$

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $BC$ i $AD$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie $B'$, a prosta równoległa do boku $AD$ przecina bok $AB$ w punkcie $A'$. Wykaż, że $|AA'| = |BB'|$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q| < 1$. Stosunek sumy $S_N$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_P$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\dfrac{S_N}{S_P} = S_N - S_P$. Oblicz $q$.

Rozwiąż równanie $\cos(3x) + \sqrt{3} \sin(3x) + 1 = 0$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest trapez równoramienny $ABCD$ wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$. Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ (zobacz rysunek).
Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia $R$ i miary kąta $\alpha$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$(x - 4)[x^2 + (m - 3)x + m^2 - m - 6] = 0$$
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ oraz $x_3$, spełniające warunek
$$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 5m - 51$$

Dane są okrąg $o_1$ o równaniu $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 98$ oraz okrąg $o_2$ o promieniu $2\sqrt{5}$. Środki okręgów $o_1$ i $o_2$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y = -3x - 6$, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$. Wyznacz równanie okręgu $o_2$.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne $ABC$ ($|AC| = |BC|$), na których opisano okrąg o promieniu $R = 1$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$ trójkąta.
a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $x$, wyraża się wzorem
$$P(x) = (x + 1) \cdot \sqrt{1 - x^2}$$
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz długość odcinka $x$ tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................