Matura CKE Maj 2003 – Matematyka Rozszerzona

Sprawdź, czy funkcja $f$ określona wzorem
$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x(x-1)(x-2)}{x^2-3x+2} & \text{dla } x$$
eq 1 \text{ i } x
eq 2 \ 1 & \text{dla } x=1 \ 3 & \text{dla } x=2 \end{cases}
jest ciągła w punktach $x=1$ i $x=2$. Sformułuj odpowiedź.

Niech $\Omega$ będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i $A \subset \Omega$, $B \subset \Omega$. Oblicz $P(A \cap B)$ wiedząc, że $P(A \cup B) = \dfrac{5}{8}$, $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(B') = \dfrac{3}{4}$. Sprawdź, czy zdarzenia $A$ i $B$ są zdarzeniami niezależnymi?

Odcinek $CD$ jest obrazem odcinka $AB$ w jednokładności o skali $k < 0$. Wiedząc, że $A(-2,0)$, $B(0,-2)$, $C(3,4)$, $D(7,0)$ wyznacz:
a) równanie prostej przechodzącej przez punkt $A$ i jego obraz w tej jednokładności,
b) równanie prostej przechodzącej przez punkt $B$ i jego obraz w tej jednokładności,
c) współrzędne środka tej jednokładności.

Dane są funkcje $f$, $g$ i $h$ określone wzorami: $f(x)=2^x$, $g(x)=-x$, $h(x)=x-2$, $x \in \mathbb{R}$.
a) Naszkicuj wykres funkcji $f$.
b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji $f \circ g$.
c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji $h \circ f \circ g$.

Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek” zakreślamy $5$ spośród $42$ liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej $4$ spośród $5$ wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do $0{,}00001$.

Rozwiąż równanie $2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0$.

W tabeli podane są wartości funkcji $f \colon (-3, 4) \to \mathbb{R}$ dla trzech argumentów.

$x$	$-2$	$0$	$3$
$f(x)$	$3\dfrac{5}{8}$	$\dfrac{5}{8}$	$-1$

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji $f$.
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie o odciętej $x = 0$.
b) Wyznacz ekstremum funkcji $f$. Podaj argument, dla którego funkcja $f$ osiąga ekstremum.
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji $f$.

Funkcja $f$ jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania $f(x-1) = m$ w zależności od wartości parametru $m$. Odpowiedź uzasadnij.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego $n$ zachodzi równość:
$$2+5+8+\dots+(3n-1) = \dfrac{3}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trójkącie $ABC$ dane są: $|AC|=8$, $|BC|=3$, $|\angle ACB| = 60^\circ$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta $ABC$ dookoła boku $BC$.

Rozwiąż równanie $\log_3(\log_9 x) = \log_9(\log_3 x)$.