Matura CKE Marzec 2008 – Matematyka Rozszerzona

Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa $13$. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ dla $x \in R$:
a) Narysuj wykres funkcji $g$, który jest obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o wektor $\vec{u}=[2,-1]$.
b) Wyznacz $a$ i zapisz wzór funkcji $g$ otrzymanej w wyniku tego przesunięcia.
c) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których $g(x)>0$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania $x^3+m^3x^2-m^2x-1=0$ jest liczba $1$.

Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu $y=2x-3$ w punkcie $A=(2,1)$ i styczny do prostej o równaniu $y=-\dfrac{1}{2}x+9$ w punkcie $B=(-4,7)$. Oblicz promień tego okręgu.

Narysuj wykres funkcji $f(x)=|x-1|+3$ określonej dla $x \in R$, a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m \in R$.

Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki, płacąc za nie $720$ zł. Gdyby każda koszulka kosztowała o $2$ złote mniej, to za tę samą kwotę mógłby kupić o $5$ koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek kupił w tej hurtowni wspomniany właściciel sklepu. Podaj cenę jednej koszulki.

W czworokącie wypukłym $ABCD$ dane są: $|AB|=2$, $|BC|=\sqrt{3}$, $|CD|=3$, $|DA|=4$ i $|\sphericalangle DAB|=60^\circ$. Oblicz pole tego czworokąta.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna $ABC$ zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $\alpha = 60^\circ$. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się $8\sqrt{3}$. Zaznacz na poniższym rysunku kąt $\alpha$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$ wysokość $CE$ jest dwa razy dłuższa od wysokości $AD$ (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta $ABC$.

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3^{1-n}$ dla $n \ge 1$.
a) Oblicz iloraz tego ciągu.
b) Oblicz $\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \log_3 a_3 + ... + \log_3 a_{100}$ czyli sumę logarytmów, o podstawie $3$, stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
$A$ – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek,
$B$ – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez $3$.