Matura OPERON Listopad 2019 – Matematyka Rozszerzona

Liczba $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ jest równa:

Dziedziną funkcji $f(x) = \log_{\dfrac{2x - 3}{x + 3}} \left(x^3 - x^2\right)$ jest:

Suma wszystkich współczynników wielomianu $W(x) = \left(7x^3 - 5x^2 - 2x + 8\right)^5$ stojących przy nieparzystych potęgach zmiennej $x$ wynosi:

Ile maksymalnie rozwiązań może mieć równanie $| |x| - 3 | - 2 = m$, gdzie $m \in R$?

Dany jest trapez równoramienny, w który wpisano okrąg. Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość $7$ cm. Obwód tego trapezu jest równy:

Oblicz $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 7x + 10}{x^3 + 8}$.
Zakoduj cyfrę jedności i dwie kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 + 8}{x + 1}$ w przedziale $\langle 0, 3 \rangle$.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ zachodzi nierówność
$2x^2 + 5y^2 + 10 > 6xy + 4y$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$, w którym kąt między środkową a wysokością wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego ma miarę $\alpha$. Wykaż, że
$\text{tg}\alpha = \dfrac{|a^2 - b^2|}{2ab}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie $\cos 3x + \sin 7x = 0$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

W urnie umieszczono $4$ kule białe i $8$ kul czarnych. Losujemy jedną kulę. Jeżeli będzie biała, to wrzucamy ją z powrotem do urny i dorzucamy do niej jeszcze dwie białe kule. Jeżeli będzie czarna, to zatrzymujemy ją i dorzucamy dwie zielone kule do urny. Następnie losujemy z urny jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie z wylosowanych za drugim razem kul są białe.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $a$ i dwa razy krótszej wysokości przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ}$. Zaznacz ten kąt na rysunku oraz oblicz pole otrzymanego przekroju, wynik przedstaw w najprostszej postaci.

Wyznacz wartość parametru $m$, dla którego równanie $(m^2 + m - 3)x^2 + (2m - 1)x + 2 = 0$ ma dwa rozwiązania dodatnie takie, że jedno z nich jest dwa razy większe od drugiego.

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się w prostych o równaniach $x + 6y - 12 = 0$; $x + y - 7 = 0$ oraz $x - 4y + 18 = 0$.

Rozwiąż nierówność $\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{1}{(x - 3)^2} + \dfrac{1}{(x - 3)^3} + \dots \ge 2 - x$, gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.

Powierzchnia całkowita graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $S\sqrt{3}$. Wyznacz największą z możliwych objętość tego graniastosłupa, wynik zapisz w najprostszej postaci.