Matura próbna CKE Listopad 2006 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (5 pkt)
Funkcja homograficzna $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{px - 3}{x - p}$, gdzie $p \in R$ jest parametrem i $|p|$
eq \sqrt{3}.
a) Dla $p = 1$ zapisz wzór funkcji w postaci $f(x) = k + \dfrac{m}{x - 1}$, gdzie $k$ oraz $m$ są liczbami rzeczywistymi.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których w przedziale $(p, +\infty)$ funkcja $f$ jest malejąca.

Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości $k \in R$, dla których pierwiastki wielomianu $W(x) = (x^2 - 8x + 12) \cdot (x - k)$ są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

Zadanie 3. (4 pkt)
Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej $f$.
Rozwiąż równanie $(f(x))^2 - 16 = 0$.

Zadanie 4. (7 pkt)
Trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle BCA| = 90^\circ$ i $|\angle CAB| = 30^\circ$, jest opisany na okręgu o promieniu $\sqrt{3}$. Oblicz odległość wierzchołka $C$ trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

Zadanie 5. (3 pkt)
Sporządź wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(x) = 2|x| - x^2$, a następnie, korzystając z niego, podaj wszystkie wartości $x$, dla których funkcja $f$ przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości $x$, dla których przyjmuje minima lokalne.

Zadanie 6. (4 pkt)
Podstawa $AB$ trapezu $ABCD$ jest zawarta w osi $Ox$, wierzchołek $D$ jest punktem przecięcia paraboli o równaniu $y = -\dfrac{1}{3}x^2 + x + 6$ z osią $Oy$. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 7. (3 pkt)
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $2 \cos^2 x = \cos x$ należące do przedziału $\langle 0, 2\pi \rangle$.

Zadanie 8. (4 pkt)
Uczeń analizował własności funkcji $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną $f'(x)$ dla każdego $x \in R$. Wyniki tej analizy zapisał w tabeli.

$x$	$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, 2)$	$2$	$(2, 3)$	$3$	$(3, +\infty)$
$f'(x)$	$(+)$	$0$	$(-)$	$0$	$(-)$	$0$	$(-)$
$f(x)$		$2$		$-1$		$1$

Niestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd.
a) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy.
b) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli, zawarte w niej dane pozwolą określić dokładną liczbę miejsc zerowych funkcji $f$. Uzasadniając swoją odpowiedź możesz naszkicować przykładowe wykresy funkcji.

Zadanie 9. (3 pkt)
Niech $A \subset \Omega$ i $B \subset \Omega$ będą zdarzeniami losowymi. Mając dane prawdopodobieństwa zdarzeń: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \setminus B) = 0,3$, zbadaj, czy $A$ i $B$ są zdarzeniami niezależnymi.

Zadanie 10. (5 pkt)
Ciąg liczbowy $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wzorem $a_n = (n - 3)(2 - p^2)$, gdzie $p \in R$.
a) Wykaż, że dla każdej wartości $p$ ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.
b) Dla $p = 2$ oblicz sumę $a_{20} + a_{21} + a_{22} + \dots + a_{40}$.
c) Wyznacz wszystkie wartości $p$, dla których ciąg $(b_n)$ określony wzorem $b_n = a_n - pn$ jest stały.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 11. (3 pkt)
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej $n > 1$ największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $x^2 - 3nx + 2n^2 < 0$ o niewiadomej $x$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Zadanie 12. (4 pkt)
Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).