Próbna Matura Operon Listopad 2023 – Matematyka Rozszerzona – Arkusz i Zadania

0 – 2 pktlogarytmy

Oblicz wartość wyrażenia

\dfrac{\log_5 7 \cdot \log_{49} 625}{\log_3 \sqrt[3]{2} - 2 \log_3 \sqrt[6]{54}}

. Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 2.Otwarte

0 – 2 pktfunkcje

Dana jest funkcja kwadratowa

f

. Miejsca zerowe tej funkcji spełniają warunek

x_1 + x_2 = 8

. Wiadomo, że

f(0) > 0

oraz funkcja

f

w przedziale

[0, 6]

przyjmuje wartość najmniejszą równą

(-5)

i wartość największą równą

27

.
Podaj wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 3.Otwarte

0 – 2 pktgranice

Oblicz granicę ciągu

\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6 + 11 + 16 + ... + (5n + 1)}{7n^2 - 4}

. Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 4.Dowod

0 – 3 pktalgebra

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x > 1$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $y \in \mathbb{R}$ prawdziwa jest nierówność $4x^3y^2 - 4y^2 - 12x^3y + 12y + 9x^3 - 8 > 0$ .

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 5.Otwarte

0 – 3 pktbezwgledna

Rozwiąż algebraicznie nierówność $x + 5 > 3|x - 1|$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 6.Dowod

0 – 3 pktdowody_geometryczne

Na trapezie równoramiennym

ABCD

, w którym trzy boki mają taką samą długość, opisano okrąg o promieniu

r

. Dłuższa podstawa trapezu ma długość

2r

.
Udowodnij, że przekątna trapezu ma długość $r\sqrt{3}$ .

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 7.Otwarte

0 – 4 pkttrygonometria

Rozwiąż równanie $\sin\left(\dfrac{\pi}{3} + 3x\right) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - 3x\right) = \sin 6x$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 8.Otwarte

0 – 4 pktfunkcje

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f(x) = \dfrac{2x^2 - 8x + 8}{x - 4}

, gdzie

x eq 4

.
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f$ w przedziale $[5, 10]$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 9.Otwarte

0 – 5 pktfunkcje

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f(x) = \dfrac{3}{2}x^4 + \dfrac{17}{3}x^3 + \dfrac{11}{2}x^2 - x - 5

dla

x \in \mathbb{R}

.
Wyznacz równanie tej stycznej do wykresu funkcji $f$ , która jest prostopadła do prostej o równaniu $y = \dfrac{1}{3}x + 15$ , a współrzędna odcięta $x_0$ punktu styczności jest mniejsza od $(-1)$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 10.Otwarte

0 – 5 pktplanimetria

Dany jest czworokąt wypukły

ABCD

, w którym

|AD| = a

,

|AB| = 2a

. Dwusieczna kąta

ADC

przecięła prostą

AC

w punkcie

E

takim, że

\dfrac{|AE|}{|CE|} = \dfrac{2}{3}

. Obwód czworokąta

ABCD

wynosi

84

.
W czworokąt można wpisać okrąg. Ponadto

\cos \measuredangle ADC = \dfrac{1}{16}

.
Oblicz promienie okręgów opisanych na trójkącie $ACD$ oraz na trójkącie $ABC$ .

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 11.Otwarte

0 – 5 pktciagi

Dany jest czterowyrazowy ciąg

(a, b, c, d)

, który jest rosnącym ciągiem arytmetycznym o wyrazach dodatnich. Jeżeli do kwadratu sumy pierwszego i trzeciego wyrazu dodamy kwadrat różnicy drugiego i czwartego wyrazu, to otrzymamy kwadrat największego wyrazu ciągu. Ponadto ciąg

(3a + 30, 3b, c + 2)

jest geometryczny.
Oblicz wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego. Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 12.Otwarte

0 – 6 pktparametr

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 + mx + 3 - m = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ o tych samych znakach, spełniające warunek $\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} > \dfrac{-2}{m + 3}$ , gdzie $m eq -3$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Próbna Matura Operon Listopad 2023 – Matematyka Rozszerzona

Zadania z tego arkusza (12)

Chcesz przećwiczyć więcej arkuszy z przedmiotu Matematyka Rozszerzona?