Próbna Matura z OPERONEM Listopad 2020 – Matematyka Rozszerzona

Wyrażenie $\dfrac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{9}-2\sqrt[3]{3}+4}$ jest równe:

Dany jest trapez $ABCD$ w którym $AB \parallel CD$, $|AB| = 8, |CD| = 3$. Na ramieniu $BC$ zaznaczono punkt $E$ w ten sposób, że $\dfrac{|CE|}{|EB|} = \dfrac{1}{2}$. Przez punkt $E$ poprowadzono prostą równoległą do $AB$, która przecięła ramię $AD$ w punkcie $F$. Odcinek $EF$ ma długość:

Granica ciągu $\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{4n^2+3n}-2n\right)$ jest równa:

Równanie $\left|\dfrac{-4x-17}{x+5}\right| = m$ ma dokładnie dwa rozwiązania dla:

Oblicz $\log_{ab} \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}$, jeżeli wiadomo, że $\log_{ab} a = 4$.
Zakoduj cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{x-8}{4-3x}$ w punkcie $(x_0, 3)$.

Wykaż, że tylko jedna liczba spełnia nierówność $\dbinom{n}{n-3} \le n-1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trapez prostokątny o podstawach długości $a, b$ oraz wysokości długości $2h$. Dłuższe ramię trapezu jest równocześnie średnicą okręgu, który jest styczny do drugiego ramienia trapezu. Udowodnij, że $h^2 = ab$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W pudełku znajduje się $30$ piłeczek ponumerowanych liczbami $1, 2, 3, 4, ..., 30$. Losujemy kolejno dwie piłeczki bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że druga wylosowana piłeczka jest oznaczona liczbą pierwszą, jeżeli wiadomo, że pierwsza piłeczka była oznaczona liczbą nieparzystą. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

W trójkącie równobocznym $ABC$ na boku $AB$ zaznaczono punkt $D$ w taki sposób, że $\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{1}{3}$. Wyznacz sinus kąta $BCD$.

Rozwiąż równanie $\sin^2 2x + 1 = 7 \cos^2 \left(\dfrac{3}{2}\pi - x\right)$ dla $x \in \langle -2\pi, 2\pi \rangle$.

Dla jakich wartości parametru $m$ funkcje $f(x) = \dfrac{4-m}{x}$ oraz $g(x) = x^2 + 5x + m$, dla $x$
eq 0, mają dokładnie trzy punkty wspólne?

Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym. W wyniku podzielenia wyrazu $a_{13}$ przez $a_3$ otrzymujemy iloraz $5$ i resztę $1$, dodatkowo wyrazy pierwszy, siódmy i sto trzeci w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Wyznacz równanie okręgu, który jest styczny do prostych $x = 0$ oraz $4x + 3y + 33 = 0$, a także przechodzi przez punkt $P(-2, 0)$.

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy $L$. Jakie długości powinny mieć boki tego trójkąta, aby objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wzdłuż podstawy była największa?