Matura CKE Maj 2019 – Fizyka Rozszerzona

Rzut z autu jest elementem gry w piłkę nożną i polega na wprowadzeniu piłki do gry z linii bocznej boiska. Podczas wykonywania autu piłkarz rzuca piłkę oburącz zza głowy.
W zadaniach 1.1.–1.3. pomiń opory ruchu oraz przyjmij, że prędkość początkowa $\vec{v}_0$ piłki rzuconej z autu ma kierunek poziomy, a przyspieszenie ziemskie ma wartość $g = 9,81 \text{ m/s}^2$.
Rysunek poniżej przedstawia położenia piłki podczas ruchu w jednakowych odstępach czasu.
Piłka wyrzucona poziomo z autu, z wysokości $h = 1,96 \text{ m}$, spadła na boisko w odległości $x = 5,10 \text{ m}$ – jeśli zmierzyć w kierunku poziomym od miejsca wyrzutu (zobacz rys. powyżej).

Uczniowie badali zależność ruchu bryły sztywnej od jej momentu bezwładności. W tym celu wykorzystali przyrząd zwany wahadłem Oberbecka. Obracająca się część przyrządu jest zbudowana z jednorodnego walca i czterech prętów zamocowanych na tym walcu. Pręty leżą w jednej płaszczyźnie, są do siebie prostopadłe, a walec może swobodnie się obracać wokół swojej osi symetrii O. Oś O jest nieruchoma i pozioma. Ponadto na prętach zamocowane są jednakowe obciążniki, które można mocować w różnej odległości od walca (zobacz rys. obok). Opisaną bryłę wprawia się w ruch obrotowy za pomocą ciężarka P zawieszonego na lekkiej nierozciągliwej nitce nawiniętej na walec. Podczas ruchu ciężarka w dół nitka nie ślizga się po walcu.
Uczniowie mierzyli czas $t$ opuszczania się ciężarka P z wysokości $h$. Doświadczenie powtarzano, ale za każdym razem modyfikowano jego warunki – w kolejnych próbach obciążniki mocowano w innych miejscach na prętach albo zmieniano wysokość, z której opuszcza się ciężarek. Rozmieszczenie obciążników pozostawało za każdym razem symetryczne, tzn. obciążniki były położone w jednakowych odległościach od osi obrotu. W chwili początkowej każdego z doświadczeń cały układ spoczywał.
Pomijamy wpływ oporów powietrza oraz tarcia pomiędzy walcem a osią obrotu, pomijamy także masę nitki.

Na wykresie obok, w płaszczyźnie parametrów $(V, p)$ – objętości i ciśnienia, przedstawiono wykres cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego, które zachodzą podczas pracy pewnego silnika cieplnego. Osie na wykresie wyskalowane są liniowo.

W zawodach sportowych w strzelaniu wyrzuca się pionowo (lub pod pewnym kątem) specjalne rzutki. Do wyrzucania rzutek można używać sprężynowej wyrzutni. Najpierw rzutkę kładzie się na ustawionej pionowo sprężynie, po czym sprężynę się ściska o pewną długość $x$ (zobacz rys. 1.). Następnie sprężynę się zwalnia, w wyniku czego rzutka zostaje wystrzelona pionowo w górę (zobacz rys. 2.). Rzutka wznosi się na wysokość $h$ (zobacz rys. 3.), po czym opada. Rysunki poniżej są schematyczne – nie zachowano proporcji pomiędzy $x$ oraz $h$.
Masa rzutki standardowej wynosi $m = 105 \text{ g}$. Po wykonaniu serii testów wyrzutni stwierdzono, że rzutka standardowa wystrzelona pionowo wznosi się na wysokość $h = 50 \text{ m}$, a współczynnik sprężystości sprężyny jest równy $k = 200 \text{ N/m}$. Sprężyna w wyrzutni ściskana jest zawsze o tę samą długość $x$.
Do obliczeń w zadaniach 4.1.–4.2. przyjmij model zjawiska, w którym pomijamy siły oporów powietrza, masę sprężyny oraz straty energii podczas jej rozprężania.

Uczniowie zamierzali wyznaczyć gęstość $\rho$ pewnej cieczy. Mieli do dyspozycji piasek, szklane naczynie ze skalą objętości, mniejszy pojemnik (zobacz rys. 1.) oraz wagę. Masę mniejszego pustego pojemnika oznaczymy jako $m_p$. Do szklanego naczynia uczniowie wlali badaną ciecz o objętości $V_0$, a do pojemnika wsypali porcję piasku. Następnie pojemnik umieścili w naczyniu z cieczą tak, aby pływał (zobacz rys. 2.). W kolejnych etapach doświadczenia uczniowie dosypywali do pojemnika piasek, a pojemnik wciąż pływał. Całkowita masa piasku $m_x$ w pojemniku była znana, ponieważ uczniowie za każdym razem ważyli porcję dosypywanego piasku. Po dosypaniu piasku uczniowie odczytywali na skali objętość $V$, jaką zajmuje ciecz razem z zanurzoną częścią pojemnika z piaskiem. Objętość $V_z$ zanurzonej części mniejszego pojemnika uczniowie wyznaczali po odjęciu objętości cieczy $V_0$ od objętości $V$.
Wyniki pomiarów przeprowadzonych podczas doświadczenia przedstawiono na poniższym wykresie. Zaznaczono punkty pomiarowe $(m_x, V_z)$ oraz niepewności $\Delta V_z$. Pomiary masy piasku $m_x$ przyjęto za dokładne.
Uczniowie uznali, że zależność między objętością $V_z$ zanurzonej części pojemnika z piaskiem a masą piasku $m_x$ w tym pojemniku jest liniowa, czyli że opisuje ją wyrażenie:
$$V_z = A \cdot m_x + B \quad \text{– dla pewnych współczynników } A \text{ i } B$$

Rozważamy soczewkę dwuwklęsłą (zobacz rys. obok) wykonaną ze szkła o bezwzględnym współczynniku załamania światła $n = 1,6$.

Zadanie 7. (3 pkt)
Rozważamy przejścia elektronu pomiędzy wybranymi poziomami energetycznymi A, B, C, D w pewnym atomie. Elektron może przechodzić z poziomu A do poziomu B, z poziomu B do poziomu C oraz z poziomu C do poziomu D. Ponadto możliwe jest bezpośrednie przejście elektronu z poziomu A do poziomu D (zobacz rys. obok). Długości fal fotonów emitowanych podczas tych przejść oznaczymy odpowiednio: $\lambda_{AB}, \lambda_{BC}, \lambda_{CD}, \lambda_{AD}$.
Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć – tylko na podstawie danych wielkości: $\lambda_{AB}, \lambda_{BC}, \lambda_{CD}$ – długość fali $\lambda_{AD}$ fotonu emitowanego przy przejściu elektronu bezpośrednio z poziomu A do poziomu D.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dodatnie jony wpadają w obszar jednorodnego pola magnetycznego tak, że ich prędkości są prostopadłe do wektora indukcji magnetycznej. W obszarze pola magnetycznego tor jonu jest okręgiem (lub fragmentem okręgu). Promienie tych okręgów zależą od wartości prędkości jonów, ich masy, ładunku elektrycznego oraz od wartości indukcji pola magnetycznego.
Powyższe zjawisko wykorzystuje się do wyznaczania masy jonów. W tym celu początkowo spoczywające jony najpierw przyspiesza się w polu elektrycznym napięciem $U$. Rozpędzone jony uzyskują pewną prędkość, z którą opuszczają obszar pola elektrycznego i wpadają w obszar jednorodnego pola magnetycznego o wektorze indukcji $\vec{B}$, prostopadłym do wektora prędkości jonu $\vec{v}$. Jony zakreślają w polu magnetycznym półokręgi, po czym wpadają do detektora w odległości $d$ (zależącej m.in. od masy jonów) od źródła jonów (zobacz rys. poniżej).
Zakładamy, że jony poruszają się w próżni, oraz pomijamy wpływ innych pól na ruch jonów.

Nietrwały izotop wodoru tryt ${}^3_1\text{H}$ ulega przemianie, w wyniku której powstaje jądro pewnego izotopu helu oraz emitowane są cząstki: elektron oraz antyneutrino elektronowe. Neutrina i antyneutrina mają zerowy ładunek elektryczny, a ich masa w porównaniu do masy elektronu jest pomijalnie mała.
Tabela obok przedstawia przybliżone masy wybranych cząstek i jąder. Niektóre z nich wykorzystaj w zadaniu 9.3.

Symbol	Masa, $10^{-27} \text{ kg}$
$^3\text{H}$	$5,00736$
$^4\text{He}$	$6,64466$
$^3\text{He}$	$5,00641$
$\text{n}$	$1,67493$
$\text{p}$	$1,67262$
$e$	$0,00091$

Czas połowicznego rozpadu, jakiemu podlega tryt w opisanej przemianie, wynosi około $12,3 \text{ lat}$.

Na wykresie poniżej, w płaszczyźnie parametrów ($V, p$) – objętości i ciśnienia, przedstawiono wykres cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego, które zachodzą podczas pracy pewnego silnika cieplnego. Osie na wykresie wyskalowane są liniowo.

Dwa oporniki $R_1$ i $R_2$ połączono szeregowo i dołączono do zasilacza o regulowanym napięciu (rys. 1.). Następnie przy różnych ustawieniach napięcia zasilacza mierzono natężenie prądu płynącego przez oba oporniki oraz napięcia na każdym z oporników. W wyniku pomiarów otrzymano dla każdego z oporników wykres zależności między napięciem $U$ na danym oporniku a natężeniem $I$ prądu płynącego przez ten opornik (rys. 2.).

Około 2 miliardów lat temu w złożach uranu w okolicach Oklo w Gabonie dochodziło do reakcji łańcuchowej rozszczepienia jąder uranu. Skąd o tym wiemy? Na pierwszy ślad tego zjawiska natrafiono w 1972 roku podczas rutynowych testów próbek z kopalni uranu w Oklo. Okazało się, że zawartość izotopu $^{235}\text{U}$ w złożu (w stosunku do innych izotopów uranu) była mniejsza niż w innych tego typu złożach. Ze względu na to przeprowadzono różnego rodzaju badania złoża w Oklo – sprawdzano nie tylko zawartości izotopów uranu, lecz także izotopów będących produktem jego rozszczepienia: neodymu i rutenu. Okazało się, że w przypadku wszystkich badanych izotopów zawartość odbiegała od oczekiwanej: np. zawartość izotopu $^{99}\text{Ru}$, będącego typowym produktem rozszczepienia uranu za pomocą neutronów termicznych (neutronów o stosunkowo małych energiach kinetycznych), była ponad dwukrotnie większa niż w innych złożach. Wywnioskowano stąd, że w obrębie złoża w Oklo doszło do powstania naturalnego reaktora jądrowego. Obecnie w żadnym złożu na Ziemi nie zachodzi podobne zjawisko, ponieważ nigdzie nie ma już dostatecznie dużej zawartości izotopu uranu $^{235}\text{U}$. W przypadku reaktora w Oklo wynosiła ona (2 miliardy lat temu) około $3\%$ całej masy uranu w złożu, czyli mniej więcej tyle, ile stosuje się we współczesnych reaktorach. Są jeszcze inne warunki, które muszą być spełnione, aby naturalny reaktor jądrowy mógł zadziałać.
• Rozmiar złoża uranu (o odpowiedniej zawartości izotopu $^{235}\text{U}$) powinien przekraczać średni zasięg neutronów rozszczepiających, co odpowiada wielkości złoża równej około $70 \text{ cm}$.
• Musi być obecny moderator, czyli substancja, która spowalnia neutrony powstałe w wyniku rozszczepienia na tyle, by te mogły rozszczepić kolejne jądra uranu.
• W złożu powinna być niska koncentracja innych niż uran pierwiastków absorbujących neutrony.
Mechanizm działania reaktora w Oklo polegał na tym, że w złożu uranu występowała woda gruntowa, która działała jako moderator reakcji rozszczepienia: pozwalała rozpocząć się reakcji łańcuchowej. W momencie, kiedy ciepło generowane w rozszczepieniach powodowało, że woda wyparowywała, moderator znikał i łańcuchowa reakcja rozszczepienia zwalniała lub ustawała. Następnie, gdy złoże się schłodziło i woda gruntowa z powrotem wsączała się w jego obręb, reakcja ponownie się rozpoczynała. Na podstawie badań pozostałości produktów rozszczepienia obecnych w minerałach złoża oszacowano, że cykl ten składał się z trzydziestominutowej reakcji łańcuchowej, a następnie dwuipółgodzinnego schładzania złoża i powrotu wody gruntowej.
Na podstawie: Grzegorz Lizurek, Pierwszy reaktor jądrowy, „Delta”, maj 2015.