Matura CKE Maj 2023 – Fizyka Rozszerzona

Samochód policyjny $\mathcal{P}$ jechał ze stałą prędkością o wartości $v_{0\mathcal{P}} = 20 \text{ m/s}$. W pewnej chwili został on wyprzedzony przez samochód osobowy $\mathcal{F}$, jadący w tym samym kierunku ze stałą prędkością o wartości $v_{\mathcal{F}} = 35 \text{ m/s}$ (zobacz rysunek 1.).
Rysunek 1.
W chwili $t_0 = 0$, gdy odległość między samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ zwiększyła się do $d_0 = 40 \text{ m}$, samochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyśpieszeniem o wartości $a = 6 \text{ m/s}^2$ (zobacz rysunek 2.).
Rysunek 2. ($t_0 = 0$)
Odległość $d$ między samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili osiągnęła wartość maksymalną $d_{max}$, a następnie zaczęła maleć.
Przyjmij, że:

• od chwili $t_0 = 0$ samochód policyjny $\mathcal{P}$ poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym
• samochód $\mathcal{F}$ cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym
• odległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi punktami na przednich zderzakach.

Oblicz $d_{max}$ – maksymalną odległość pomiędzy samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ podczas pościgu. Zapisz obliczenia.

Krążek K1 porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ ze stałą prędkością $\vec{v}$, a krążek K2 spoczywa. Środek krążka K2 leży poza prostą wyznaczającą kierunek ruchu krążka K1. W pewnej chwili krążek K1 uderza w krążek K2.
Na rysunku 1. w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono poruszający się krążek K1 i spoczywający krążek K2. Oznaczono prędkość $\vec{v}$ krążka K1 i składowe $\vec{v}_x, \vec{v}_y$ tej prędkości. Na rysunku 2. przedstawiono moment zderzenia się obu krążków.
Krążki są jednorodne, a ich masy są sobie równe. Pomijamy tarcie między krążkami K1 i K2 oraz między krążkami a podłożem.
Rysunek 1.
Rysunek 2.

Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec – ciągnięty przez linkę – rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustrują rysunki 1. i 2.
Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I = \dfrac{1}{2}mR^2$
• pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
• zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
• siła tarcia statycznego $\vec{T}$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{źr} = 3 \text{ GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).
Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_Z$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f| = 750 \text{ kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$.
Przyjmij, że $v \ll c$ oraz $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.

Informacja do zadań 5.3.–5.4.
Załóżmy, że ciało $C_1$ krąży po orbicie $O_1$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_1$, a ciało $C_2$ krąży po orbicie $O_2$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_2$. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas $M_1$ i $M_2$ można obliczyć ze wzoru:
$$\dfrac{M_1}{M_2} = \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2$$
gdzie: $T_1$ i $T_2$ są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – $O_1$ i $O_2$, natomiast $a_1$ i $a_2$ zależą od rodzaju orbity:

• gdy orbity $O_1$ i $O_2$ są kołowe, to $a_1$ i $a_2$ są odpowiednio promieniami tych orbit
• gdy orbita $O_1$ jest eliptyczna, a orbita $O_2$ jest kołowa, to $a_1$ jest długością półosi wielkiej orbity $O_1$, natomiast $a_2$ jest promieniem orbity $O_2$.

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S2} = 16 \text{ lat ziemskich}$
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_P = 120 \text{ au}$
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_A = 1820 \text{ au}$.

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.
Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się $n = 1 \text{ mol}$ jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

• W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu $Q_1 = 100 \text{ J}$ ciepła.
• W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu $Q_2 = 100 \text{ J}$ ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V = \dfrac{3}{2} R$, gdzie $R$ jest stałą gazową.

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $AF$, $FB$, $BE$, $EC$, $CD$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{AF}$, $B_{FB}$, $B_{BE}$, $B_{EC}$, $B_{CD}$.
W chwili początkowej $t_A = 0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $\vec{v}$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$. Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $AF$ wynosiła $B_{AF} = 0{,}2 \text{ T}$. Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równości:
$$|AB| = |BC| = |CS| = |SD| = |DE| = |EF| \quad \text{ oraz } \quad |AD| = 1 \text{ m}$$
Rysunek
W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

Do produkcji włókien tradycyjnych żarówek wykorzystywano bardzo cienkie druty wolframowe. Gdy przez włókno wolframowe pewnej żarówki płynął prąd o niewielkim natężeniu, to włókno utrzymywało temperaturę $T_0 = 300 \text{ K}$, a jego opór wynosił $R_0 \approx 65 \Omega$. Po podłączeniu tej żarówki do sieci o napięciu $230 \text{ V}$ pobierała ona moc (znamionową) $60 \text{ W}$. Wówczas włókno rozgrzewało się do wysokiej temperatury, a jego opór był wielokrotnie większy od $R_0$.
Na poniższym wykresie linią ciągłą przedstawiono zależność $R/R_0$ od temperatury $T$, gdzie $R$ oznacza opór włókna wolframowego o temperaturze $T$. W zakresie temperatur od $300 \text{ K}$ do $1000 \text{ K}$ ta zależność ma w przybliżeniu charakter liniowy (tzn. jej wykres pokrywa się częściowo z linią prostą narysowaną przerywaną kreską).

Promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada na brzeg szklanego krążka w punkcie $A$. Kąt padania w punkcie $A$ jest równy $\alpha$, a kąt załamania tego promienia jest równy $\beta$. Część promienia, która wniknęła do szkła w punkcie $A$, pada dalej na brzeg krążka w punkcie $D$. Na rysunku 1. (poniżej) oraz na rysunku 2. (na stronie 23) przedstawiono bieg promienia tylko do punktu $D$, przy czym pominięto część promienia odbitą w punkcie $A$. Kreskami przerywanymi oznaczono odcinki pomocnicze. Punkt $O$ jest środkiem krążka.

Elektron o prędkości początkowej równej zero został rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu $U$ do prędkości o wartości $v$. Energia kinetyczna, którą uzyskał elektron, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej.

Pierwiastek o nazwie kopernik, oznaczony symbolem Cn, ma liczbę atomową $Z = 112$. Izotop $^{277}\text{Cn}$ tego pierwiastka został po raz pierwszy wytworzony w wyniku bombardowania ołowianej tarczy jonami cynku $^{70}\text{Zn}$.
Kopernik $^{277}\text{Cn}$ jest izotopem nietrwałym.
Uwaga: W zadaniach 11.1., 11.2., 11.3. skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki.