Matura CKE Czerwiec 2023 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność $|x + 5| < 15$ jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ iloczyn $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x}$ jest równy

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2 + 7k - 2$ przez $7$ jest równa $5$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Klient wpłacił do banku $30 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $7\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_2 \dfrac{1}{8} + \log_2 4$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $(1 + \sqrt{5})^2 - (1 - \sqrt{5})^2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $0$ i $2$ wyrażenie $\dfrac{x^2+x}{(x-2)^2} \cdot \dfrac{x-2}{x}$ jest równe

Rozwiąż nierówność
$$x(2x - 1) < 2x$$

Rozwiąż równanie
$$x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie $\dfrac{(x^2 - 3x)(x + 2)}{x^2 - 4} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresy funkcji liniowych $f(x) = (2m + 3)x + 5$ oraz $g(x) = -x$ nie mają punktów wspólnych dla

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $y = ax + b$ przechodzi przez punkty $A = (-3, -1)$ oraz $B = (4, 3)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $y = f(x)$ (zobacz rysunek).
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $y = f(x)$ (zobacz rysunek).
Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < -1$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax^2 + bx + 1$, gdzie $a$ oraz $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że $a < 0$ i $b > 0$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

Masa $m$ leku $\mathcal{L}$ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą
$$m(t) = m_0 \cdot (0{,}6)^{0{,}25t}$$
gdzie:
$m_0$ – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili $t = 0$ dawki leku,
$t$ – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu $t = 0$ zażycia leku.
Chory przyjął jednorazowo lek $\mathcal{L}$ w dawce $200$ mg.
Oblicz, ile mg leku $\mathcal{L}$ pozostanie w organizmie chorego po $12$ godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.

Masa $m$ leku $\mathcal{L}$ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą
$$m(t) = m_0 \cdot (0{,}6)^{0{,}25t}$$
gdzie:
$m_0$ – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili $t = 0$ dawki leku,
$t$ – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu $t = 0$ zażycia leku.
Liczby $m(2{,}5), m(4{,}5), m(6{,}5)$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{n-2}{3}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od $10$ jest równa

Trzywyrazowy ciąg $(1, 4, a + 5)$ jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $a$ jest równa

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. W tym ciągu $a_1 = 3{,}75$ oraz $a_2 = -7{,}5$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos \alpha - \cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha$ jest równe

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $105^\circ$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:
...................... oraz ...................... .

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$. Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$, przy czym $|BC| = 4$ i $|CD| = 3$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Trójkąt $ABE$ jest podobny do trójkąta $CDE$.	P	F
2.	Pole trójkąta $ACD$ jest równe polu trójkąta $BCD$.	P	F

Na łukach $AB$ i $CD$ okręgu są oparte kąty wpisane $ADB$ i $DBC$, takie, że $|\measuredangle ADB| = 20^\circ$ i $|\measuredangle DBC| = 40^\circ$ (zobacz rysunek).
Cięciwy $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $K$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta $DKC$ jest równa

Pole trójkąta równobocznego $T_1$ jest równe $\dfrac{(1{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$. Pole trójkąta równobocznego $T_2$ jest równe $\dfrac{(4{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt $T_2$ jest podobny do trójkąta $T_1$ w skali

A.	$3$,	ponieważ	1.	każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
			2.	pole trójkąta $T_2$ jest $9$ razy większe od pola trójkąta $T_1$.
B.	$9$,		3.	bok trójkąta $T_2$ jest o $3$ dłuższy od boku trójkąta $T_1$.

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku $AB$ jest równa

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -x + 1$. Funkcja $g$ jest liniowa.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P = (0, -1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wzorem funkcji $g$ jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-1, 5)$ oraz $C = (3, -3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole kwadratu $ABCD$ jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (1, 7)$ oraz $P = (3, 1)$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP| : |PB| = 1 : 3$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkt $B$ ma współrzędne

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.
Objętość tego ostrosłupa jest równa .................. .

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$, w którym krawędź podstawy ma długość $5$. Przekątna $AD'$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej $3$ jest

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od $1$ do $8$ - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.
Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby $8$.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Zapisz obliczenia.

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB| = 400$ m oraz $|CD| = 100$ m. Wysokość trapezu jest równa $75$ m, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$ – na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Zapisz obliczenia.
Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$:
$$P_{ABCD} = P_{ABFE} + P_{EFCD}$$