Matura CKE Czerwiec 2026 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\dfrac{\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\dfrac{9^4}{3^{-20}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_5 \sqrt[3]{25}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $x^3 - 2x^2 + x$ jest równa wartości wyrażenia

Dane są wielomiany $W$, $V$ oraz $H$ określone wzorami:
$$W(x) = x^4$$
$$V(x) = x^3 + 1$$
$$H(x) = x - 2$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wielomian $W(x) - V(x) \cdot H(x)$ jest określony wzorem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
$$-2(x + 3)(x - 2) > 0$$
jest przedział

Dane jest równanie
$\dfrac{3x + 4}{x - 1} = \dfrac{x + 3}{3x}$ , gdzie $x$
eq 0 i $x$
eq 1.
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right)$. Zapisz obliczenia.

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest $198$. Gdyby w tym parku rosło o $18$ drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam $3$ razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
$x$ – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
$y$ – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew iglastych oraz liczby $y$ drzew liściastych, jest

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 3x - 4$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Funkcja $f$ jest rosnąca.	P	F
2.	W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 4)$.	P	F

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2x^2 - kx + 6$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $k$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{3}x + \dfrac{14}{3} & \text{dla } x \in [-5, -2) \ \dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{2} & \text{dla } x \in [-2, 2] \ -3x + 9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Zadanie 12.1. (0–2)
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Funkcja $f$ ma dokładnie .................. miejsca zerowe.
2. Funkcja $f$ osiąga największą wartość dla argumentu .................. .

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{3}x + \dfrac{14}{3} & \text{dla } x \in [-5, -2) \ \dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{2} & \text{dla } x \in [-2, 2] \ -3x + 9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Zadanie 12.2. (0–2)
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział .................. .
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział .................. .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (-3, 7)$.
Zadanie 13.1. (0–1)
Liczba $t$ spełnia warunki: $f(t) = f(-9)$ oraz $t$
eq -9.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $t$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (-3, 7)$.
Zadanie 13.2. (0–1)
Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x - 5)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:
$$\begin{cases} a_1 = 2 \ a_{n+1} = a_n - 6 \end{cases}$$
dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Zadanie 14.1. (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:
$$\begin{cases} a_1 = 2 \ a_{n+1} = a_n - 6 \end{cases}$$
dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Zadanie 14.2. (0–1)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
2.	Ciąg $(a_n)$ jest malejący.	P	F

Czterowyrazowy ciąg $(7, a_2, a_3, a_4)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $54$.
Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pięciowyrazowy ciąg $(a_1, a_2, 2, a_4, a_5)$ jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn $a_1 \cdot a_2 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot a_5$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin \alpha = \dfrac{1}{4}$. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\sphericalangle ABD| = 18^\circ$. Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $BCA$ jest równa

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$. Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$. Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$. Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB| = 6$, $|BC| = 4$ oraz $|BD| = 2$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek $DE$ ma długość

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).
Wykaż, że $|\sphericalangle CAB| = 2 \cdot |\sphericalangle ABE|$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $D = (6, 19)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x + 9$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 4x - 5$. Punkt $K = (10, 14)$ jest środkiem odcinka $AB$. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$.
Oblicz współrzędne punktu $S$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-3, 1)$ oraz $B = (1, -3)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód kwadratu $ABCD$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ odcinek o końcach $A = (1, 1)$ oraz $B = (3, -1)$ jest średnicą okręgu $O$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg $O$ jest określony równaniem

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
2.	Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.	P	F

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to $9$ lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to $13$ lat.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest sześcioelementowy zbiór $K = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Ze zbioru $K$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od $16$. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$.
Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki:

• punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$
• punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$
• $|CF| = \dfrac{1}{2} \cdot |EB| = x$, gdzie $x \in (0, 2)$ (zobacz rysunek).
  

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.
Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$, gdzie $x \in (0, 2)$. Oblicz długość $x$ odcinka $CF$, dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.