Matura CKE Grudzień 2024 – Matematyka Podstawowa

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x + 4| = 7$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma $x_1 + x_2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\left(\sqrt[5]{5} \cdot \dfrac{1}{5}\right)^{-5}$ jest równa

Wykaż, że liczba $2^{100} + 4^{49} + 16^{24}$ jest podzielna przez $21$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ wartość wyrażenia $\log_7 x + 6 \log_7 y$ jest równa wartości wyrażenia

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę $60\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości $p\%$ w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa $67\,925{,}76$ zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-1)$, $0$ oraz $1$ wartość wyrażenia
$$\dfrac{x}{x^2 - 1} \colon \dfrac{3x^2}{x + 1}$$
jest równa wartości wyrażenia

Para liczb $x = -1$ i $y = 6$ jest rozwiązaniem układu równań
$$\begin{cases} a x + 3 y = 20 \ x + b y = 5 \end{cases}$$
gdzie $a$ oraz $b$ są liczbami rzeczywistymi.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $a \cdot b$ jest równa

Rozwiąż równanie
$$\dfrac{x + 3}{x - 1} = \dfrac{x}{2x - 2}$$
Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

Rozwiąż nierówność
$$x(x - 6) \le 7$$
Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} 3 & \text{dla } x \in (-4, -2] \ -x + 1 & \text{dla } x \in (-2, 2] \ x - 3 & \text{dla } x \in (2, 4] \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział .................. .
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział .................. .
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne, jest przedział .................. .
4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje największą wartość, jest przedział .................. .

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $2$, a punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Oy$ kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ ma współrzędne $(0, 4)$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji $f$, jest równy $(-2)$.	P	F
2.	Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ oraz wykresem funkcji $f$ jest równe $8$.	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3, 0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, -9)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3, 0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, -9)$.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Wzór funkcji $f$ zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ......... oraz ......... .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3, 0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, -9)$.
Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x) - 1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Funkcja $g$ ma jedno miejsce zerowe.	P	F
2.	W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x = 3$.	P	F

Funkcja logarytmiczna $f$ jest określona wzorem $f(x) = \log_6 x$ dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Wartość funkcji $f$ dla argumentu $36$ jest równa $6$.	P	F
2.	Funkcja $f$ jest rosnąca.	P	F

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.	P	F
2.	Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $80$.	P	F

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(5m, 4 + 2m, m)$ jest arytmetyczny, gdy liczba $m$ jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, w którym $a_2 = \dfrac{1}{6}$ oraz $a_3 = \dfrac{1}{9}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC| = \sqrt{15}$ i $|BC| = 8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD| = 6$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta ostrego $ABC$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC| = \sqrt{15}$ i $|BC| = 8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD| = 6$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta ostrego $ADC$ jest równy

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $7{,}5$. Krótsza przekątna $AC$ ma długość równą $6$ i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).
Oblicz pole trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $6$. Miara kąta wpisanego $ACB$ jest równa $60^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość łuku $AB$, na którym oparty jest kąt wpisany $ACB$, jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-2, -1)$ oraz $C = (3, 4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -7x + 3$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 6)$. Punkt o współrzędnych $(1, p)$ należy do prostej $l$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $p$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są cztery okręgi: $o_1$, $o_2$, $o_3$, $o_4$, o równaniach:
$o_1 \colon (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$
$o_2 \colon (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$
$o_3 \colon (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$
$o_4 \colon (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych $(x, y)$, jest

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$, że $\tg \alpha = 3$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $p$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\pi$.
Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $0$, $1$, $2$, $3$ (np. $12303$, $11111$), jest

Dane są dwa zbiory: $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ oraz $D = \{7, 8, 9, 10\}$. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $C$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $D$.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez $4$. Zapisz obliczenia.

Do szkolnego koła czytelniczego należy $50$ uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

Liczba przeczytanych książek	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Liczba uczniów, którzy przeczytali daną liczbę książek	$5$	$8$	$12$	$13$	$12$

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa .................. .
2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa .................. .

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $AE$ jest $3$ razy dłuższa od krawędzi $AB$, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa $48$ (zobacz rysunek).
Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.