Matura CKE Maj 2006 – Matematyka Podstawowa

Dane są zbiory: $A = \{x \in R : |x-4| \ge 7\}$, $B = \{x \in R : x^2 > 0\}$. Zaznacz na osi liczbowej:
a) zbiór $A$,
b) zbiór $B$,
c) zbiór $C = B \setminus A$.

W wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.

Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.

Masa kostki masła ( w dag )	16	18	19	20	21	22
Liczba kostek masła	1	15	24	68	26	16

a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła.
b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym $a_1 = 12$, $a_3 = 27$.
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz $a_n$, dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
c) Oblicz wyraz $a_6$.

Wiedząc, że $0^\circ \le \alpha \le 360^\circ$, $\sin\alpha < 0$ oraz $4\operatorname{tg}\alpha = 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha$
a) oblicz $\operatorname{tg}\alpha$,
b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt $\alpha$ i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.

Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki $P_2$.
$|AE| = 5\text{ cm}$,
$|EC| = 13\text{ cm}$,
$|BC| = 6,5\text{ cm}$.

Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01 m.

Dana jest funkcja $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
a) Naszkicuj wykres funkcji $f$ i podaj jej zbiór wartości.
b) Podaj rozwiązanie nierówności $f(x) \ge 0$.

Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$.
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia $1\text{ m}^2$ potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.

Liczby $3$ i $-1$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 30$.
a) Wyznacz wartości współczynników $a$ i $b$.
b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Sumę $S = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{3}{4 \cdot 7} + \dfrac{3}{7 \cdot 10} + \dots + \dfrac{3}{301 \cdot 304} + \dfrac{3}{304 \cdot 307}$ można obliczyć w następujący sposób:
a) sumę $S$ zapisujemy w postaci
$S = \dfrac{4 - 1}{4 \cdot 1} + \dfrac{7 - 4}{7 \cdot 4} + \dfrac{10 - 7}{10 \cdot 7} + \dots + \dfrac{304 - 301}{304 \cdot 301} + \dfrac{307 - 304}{307 \cdot 304}$
b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków
$S = \left(\dfrac{4}{4 \cdot 1} - \dfrac{1}{4 \cdot 1}\right) + \left(\dfrac{7}{7 \cdot 4} - \dfrac{4}{7 \cdot 4}\right) + \left(\dfrac{10}{10 \cdot 7} - \dfrac{7}{10 \cdot 7}\right) + \dots + \left(\dfrac{304}{304 \cdot 301} - \dfrac{301}{304 \cdot 301}\right) + \left(\dfrac{307}{307 \cdot 304} - \dfrac{304}{307 \cdot 304}\right)$
stąd $S = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}\right) + \left(\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{10}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{301} - \dfrac{1}{304}\right) + \left(\dfrac{1}{304} - \dfrac{1}{307}\right)$
więc $S = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{10} + \dots + \dfrac{1}{301} - \dfrac{1}{304} + \dfrac{1}{304} - \dfrac{1}{307}$
c) obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim
$S = 1 - \dfrac{1}{307} = \dfrac{306}{307}$.
Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę $S_1 = \dfrac{4}{1 \cdot 5} + \dfrac{4}{5 \cdot 9} + \dfrac{4}{9 \cdot 13} + \dots + \dfrac{4}{281 \cdot 285}$.