Matura CKE Marzec 2008 – Matematyka Podstawowa

Rozwiąż nierówność $2x^2 < -260 + 53x$. Podaj wszystkie liczby całkowite, które spełniają tę nierówność.

Dany jest wielomian $W(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$.
a) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
b) Sprawdź, czy wielomiany $W(x)$ i $P(x) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + (x + 2)(2x - 13)$ są równe.
c) Uzasadnij, że jeśli $x > \sqrt{10}$, to $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 > 0$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr (cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo utworzonym kodzie PIN żadna cyfra się nie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ określamy liczby $a \circ b$ i $a * b$ w następujący sposób:
$a \circ b = \text{liczba nie mniejsza spośród liczb } a \text{ i } b$,
$a * b = \text{liczba nie większa spośród liczb } a \text{ i } b$.
Na przykład: $7 \circ 3 = 7$, $15 \circ 15 = 15$, $7 * 3 = 3$, $(-6) * 4 = -6$, $(-3) * (-3) = -3$.
Oblicz:
a) $(-5) \circ 4 =$
b) $(2005 * 2007) \circ (-2006) =$
c) $(5 \circ 6) * (2 \circ 7) =$

Ogrodnik opiekujący się klombem w kształcie koła o promieniu $40\text{ m}$ chce go powiększyć, sadząc wokół niego kwiatki na grządce o szerokości $1\text{ m}$ (patrz rysunek). Oblicz, o ile procent ogrodnik chce powiększyć powierzchnię tego klombu.

Nieskończony ciąg liczbowy $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem
$$a_n = \begin{cases} \dfrac{n+1}{2} & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste,} \ 0 & \text{gdy } n \text{ jest parzyste.} \end{cases}$$
a) Uzupełnij tabelkę:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	...	$2005$	$2006$	$2007$	$2008$
$a_n$	$1$	$0$				...

b) Oblicz $(a_{2005})^{a_{2006}} \cdot (a_{2006})^{a_{2007}} \cdot (a_{2007})^{a_{2008}}$
c) Oblicz sumę $2008$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po 2 sekundach spadł na ziemię. Wysokość (wyrażoną w metrach), na jakiej znajdował się kamień nad ziemią po upływie $t$ sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja $h(t) = -5t^2 + 5t + 10$, gdzie $t \in \langle 0, 2 \rangle$.
a) Podaj, z jakiej wysokości (od ziemi) kamień został podrzucony.
b) Oblicz, po jakim czasie od momentu podrzucenia kamień osiągnął największą wysokość.
c) Oblicz największą wysokość (od ziemi), na jaką wzniósł się ten kamień.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f(x) = \dfrac{3}{x}$ dla $x$
eq 0.
Wykres ten przesunięto o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Oy$. Otrzymano w ten sposób wykres funkcji $g$ o wzorze $g(x) = \dfrac{3}{x} + 2$ dla $x$
eq 0.
a) Narysuj wykres funkcji $g$.
b) Oblicz największą wartość funkcji $g$ w przedziale $\langle 21, 31 \rangle$.
c) Podaj, o ile jednostek wzdłuż osi $Ox$ należy przesunąć wykres funkcji $g$, aby otrzymać wykres funkcji przechodzący przez początek układu współrzędnych.

Narożnik między dwiema ścianami i sufitem prostopadłościennego pokoju należy zamaskować trójkątnym fragmentem płyty gipsowo-kartonowej (patrz rysunek). Wiedząc, że $RA = RB = RC = 1\text{ m}$, oblicz objętość narożnika zamaskowanego tą płytą. Wynik zaokrąglij do $0{,}01\text{ m}^3$.

Na płaszczyźnie dane są punkty $A = (2, 3)$ i $B = (-2, 1)$ (patrz rysunek). Zbadaj, czy punkty $K = (36, 21)$ i $L = (-37, -15)$ leżą po tej samej stronie prostej $AB$. Podaj odpowiedź i jej uzasadnienie.

Spawacz ma wykonać z blachy konstrukcję, której podstawą jest kwadrat a ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Wymiary elementów są podane na rysunku. Oblicz pole powierzchni tej konstrukcji (wszystkich sześciu ścian). Wynik podaj z zaokrągleniem do $1\text{ cm}^2$.

Na rysunku oznaczono kąty oraz podano długości boków trójkąta prostokątnego. Oblicz, które z wyrażeń ma większą wartość: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \beta} + \sin \alpha$ czy $\operatorname{tg} \beta \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} + \sin \beta$.

Właściciel kiosku notował liczbę biletów komunikacji miejskiej sprzedanych w kolejnych godzinach. Wyniki obserwacji zapisał w tabeli.

Czas obserwacji	Liczba biletów
$5:00 - 6:00$	$2$
$6:00 - 7:00$	$3$
$7:00 - 8:00$	$9$
$8:00 - 9:00$	$8$
$9:00 - 10:00$	$6$
$10:00 - 11:00$	$4$
$11:00 - 12:00$	$3$
$12:00 - 13:00$	$3$
$13:00 - 14:00$	$3$
$14:00 - 15:00$	$5$
$15:00 - 16:00$	$8$
$16:00 - 17:00$	$6$

a) Oblicz średnią liczbę biletów sprzedawanych w ciągu 1 godziny.
b) Wynikiem „typowym” nazywamy wynik, który różni się od średniej o mniej niż jedno odchylenie standardowe. Podaj wszystkie godziny, w których liczba sprzedanych biletów nie była „typowa”.