Matura CKE Styczeń 2006 – Matematyka Podstawowa

Dane są liczby: $a = \dfrac{3\sqrt{3} - 4}{1 + 2\sqrt{3}}$ i $b = \sqrt{27} \cdot \dfrac{\left(\dfrac{1}{9}\right)^3}{3^{-5}}$.
a) Przedstaw liczbę $a$ w postaci $x + y\sqrt{3}$, gdzie $x$ i $y$ są liczbami wymiernymi.
b) Zapisz liczbę $b$ w postaci potęgi liczby $3$ o wykładniku ułamkowym.
c) Suma liczb $a$ i $b$ stanowi $80\%$ pewnej liczby $c$. Wyznacz liczbę $c$.

Po Wiadomościach z kraju i ze świata telewizja TVG ma nadać pięć reklam: trzy reklamy różnych proszków do prania oraz dwie reklamy różnych past do zębów. Kolejność nadawania reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego samego rodzaju nie będą nadane bezpośrednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Dana jest funkcja $f : R \to R$ określona wzorem $f(x) = ax + 4$.
a) Wyznacz wartość $a$, dla której miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-1$.
b) Wyznacz wartość $a$, dla której prosta będąca wykresem funkcji $f$ jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $60^\circ$.
c) Wyznacz wartość $a$, dla której równanie $ax + 4 = 2a + 4$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracowników i płace (w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy:
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie standardowe podaj z dokładnością do $0,1$.

Zauważ, że:
$1^2 = 1$
$2^2 = 1 + 2 + 1$
$3^2 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1$
$4^2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1$
Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego uzasadnij, że
$n^2 = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) + n + (n-1) + \dots + 3 + 2 + 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej $f$. Na podstawie tego wykresu
a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności $f(x) \le 3$,
b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 0, 3 \rangle$,
c) zapisz wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.

Dany jest ciąg $(a_n)$ o wyrazie ogólnym $a_n = \dfrac{5 - 3n}{7}$ dla $n=1, 2, 3, \dots$.
a) Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym.
b) Oblicz, dla jakiej wartości $x$ liczby $a_4$, $x^2 + 2$, $a_{11}$ są kolejnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.

Wysokość walca jest o $6$ większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe $378\pi$. Oblicz objętość walca.

Dane są zbiory liczb rzeczywistych: $A = \left\{ x : \dfrac{3}{x} \le 1 \right\}$ i $B = \{ x : |x + 1| < 3 \}$.
a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej.
b) Przedstaw zbiory $A \cup B$ i $A \setminus B$ w postaci sumy przedziałów liczbowych.

W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary $60^\circ$ i $30^\circ$, a długość wysokości tego trapezu jest równa $6$. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.