Matura Próbna CKE Grudzień 2022 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $(5 \cdot 5^{\dfrac{1}{2}})^{\dfrac{1}{3}}$ jest równa

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za $40 000$ zł oprocentowane $7\%$ w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa

Właściciel sklepu kupił w hurtowni $50$ par identycznych spodni po $x$ zł za parę i $40$ identycznych marynarek po $y$ zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił $8000$ zł. Po doliczeniu marży $50\%$ na każdą parę spodni i $20\%$ na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cenę pary spodni $x$ oraz cenę marynarki $y$, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań

Liczby rzeczywiste $x$ i $y$ są dodatnie oraz $x$
eq y.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenie $\dfrac{1}{x-y} + \dfrac{1}{x+y}$ można przekształcić do postaci

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -\log x$ dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich $x$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość funkcji $f$ dla argumentu $x = \sqrt{10}$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, ma współrzędne $(5, -3)$. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych ma współrzędne $(4, 0)$.
Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji $f$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, ma współrzędne $(5, -3)$. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych ma współrzędne $(4, 0)$.
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej.
Zapisz obliczenia.

Dana jest nierówność kwadratowa
$$(3x - 9)(x + k) < 0$$
z niewiadomą $x$ i parametrem $k \in \mathbb{R}$. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział $(-2, 3)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $k$ jest równa

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a, b$ i $c$ są liczbami rzeczywistymi takimi, że $a$
eq 0 oraz $c < 0$. Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Wykres funkcji $f$ leży w całości

A.	nad osią $Ox$,	ponieważ	1.	$a < 0$ i $b^2 - 4ac < 0$.
			2.	$a > 0$ i $b^2 - 4ac < 0$.
B.	pod osią $Ox$,		3.	$a < 0$ i $b^2 - 4ac = 0$.

Dany jest układ równań
$$\begin{cases} y = x - 1 \ y = -x + 1 \end{cases}$$
Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest wielomian $W$ określony wzorem $W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wielomian $W$ przy rozkładzie na czynniki ma postać

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie $\dfrac{(4-x)(2x-3)}{(3x-5)(3-2x)} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dana jest nierówność
$$2 - \dfrac{x}{2} \ge \dfrac{x}{3} - 3$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 2n^2 + n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Ciąg $(a_n)$ jest malejący.	P	F
2.	Ósmy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $136$.	P	F

Pięciowyrazowy ciąg $(-3, \dfrac{1}{2}, x, y, 11)$ jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby $x$ oraz $y$ są równe

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
W tym ciągu $a_1 = -5, a_2 = 15, a_3 = -45$.
Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Wzór ogólny ciągu $(a_n)$ ma postać

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\dfrac{1}{\sin^2 \alpha} + \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{64}{9}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ jest równa

Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek).
Ponadto $|\sphericalangle AOC| = 130^{\circ}$ oraz $|\sphericalangle BOA| = 110^{\circ}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta wewnętrznego $BAC$ trójkąta $ABC$ jest równa

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości $200$ m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).
Oblicz wymiary $a$ i $b$ kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.
Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $8$. Z wierzchołka $A$ zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|AD| = 4$ i $|OD| = |BC| = 6$. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość odcinka $OC$ jest równa

Przekątne równoległoboku $ABCD$ mają długości: $|AC| = 16$ oraz $|BD| = 12$. Wierzchołki $E, F, G$ oraz $H$ rombu $EFGH$ leżą na bokach równoległoboku $ABCD$ (zobacz rysunek).
Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.
Oblicz długość boku rombu $EFGH$.
Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC| = 4, |AB| = 3, \cos \sphericalangle BAC = \dfrac{4}{5}$.
Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Zapisz obliczenia.

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta $ABE$ jest równe

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość odcinka $AE$ jest równa

Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$ oraz przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ (zobacz rysunek).
Wysokość tego trapezu jest równa $12$. Obwód trójkąta $ABO$ jest równy $39$, a obwód trójkąta $CDO$ jest równy $13$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dany jest okrąg $O$ o równaniu
$$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 13$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg $O$ przecina oś $Oy$ w punktach o współrzędnych

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach
$$k\colon y = \dfrac{1}{3}x - 1$$
$$l\colon y = -3x + 6$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste $k$ oraz $l$

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są punkty $A = (1, 2)$ i $B = (2m, m)$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta $k$ o równaniu $y = -x - 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest równoległa do prostej $k$, gdy

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $9$. Wierzchołki podstawy $ABCD$ sześcianu połączono odcinkami z punktem $W$, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $EFGH$. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDW$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość $V$ ostrosłupa $ABCDW$ jest równa

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $9$. Wierzchołki podstawy $ABCD$ sześcianu połączono odcinkami z punktem $W$, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $EFGH$. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDW$ (zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $\mathcal{F}$ o krawędzi długości $a$ i objętości $V$ oraz sześcian $\mathcal{G}$ o krawędzi długości $3a$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość sześcianu $\mathcal{G}$ jest równa

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy $2 : 7$. Zakupiono jeden los z tej loterii.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:

• w I donicy – $133$ nasiona
• w II donicy – $140$ nasion
• w III donicy – $119$ nasion
• w IV donicy – $147$ nasion
• w V donicy – $161$ nasion.

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe $\sigma = 14$.
Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.
Zapisz obliczenia.