Informator CKE – Matematyka Rozszerzona

Dany jest układ równań
$$\begin{cases} mx + y = m^2 \ 4x + my = 8 \end{cases}$$
z niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $m \in \mathbb{R}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których układ jest oznaczony, a para liczb $(x, y)$ będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek $|x + y| < 2$. Zapisz obliczenia.

Dane są liczby $a = (\log_{\sqrt{5}} 2) \cdot \log_{2} 25$ i $b = \dfrac{\log_{5} 6}{\log_{5} 8}$.
Oblicz $a^{b+1}$.

Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu wielomianu $W$ określonego wzorem
$$W(x) = \dfrac{1}{8}x^3 - 2x^2 + \dfrac{67}{8}x - 3$$
dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu $W$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{-3x + 41}{x - 13}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 13.
Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.
Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji $f$. Zapisz obliczenia.

Wielomian $W$ jest określony wzorem $W(x) = (x - 1)(x^2 - mx + m - 1)$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wielomian $W$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = px^2 + (p - 1)x + 1 - 2p$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o $1$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{3x}{x+1}$ dla każdego $x \in (-1, +\infty)$.
Wykaż, że $f$ jest funkcją rosnącą.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.
W chwili $t = 0$ znajduje się on w punkcie $O$ oddalonym od szczytu o $4$ km, a położenie $x$ Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością
$$x(t) = -t^3 + 16,5t^2 + 180t \quad \text{dla } t \in [0, 24]$$
gdzie $x$ jest wyrażone w metrach, a $t$ – w godzinach.
Oś $Ox$ jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.

Cztery miasta $A$, $B$, $C$ i $D$ znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku $300$ km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x + 2} + 4 \log_{\frac{1}{2}} x$ dla każdego $x > 0$.
Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału $\left[\dfrac{1}{2}, 4\right]$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = x^4 + 0,5 \cdot (2x + 1)^4$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n \geq 1$, jest spełniony warunek
$$\dfrac{a_5 + a_3}{a_3} = \dfrac{29}{25}$$
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa $6$.
Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = x^6 - 2x^4 - x^3 + 1$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Wykaż, że liczba $5$ należy do zbioru wartości tej funkcji.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem
$$a_n = (n + 5)^2 \cdot \left( \dfrac{p + 1}{(n + 1)(n + 2)} + \dfrac{2p + 2}{(n + 2)(n + 3)} \right)$$
dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu $(a_n)$ jest równa $12$. Zapisz obliczenia.

Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości $A$, $B$ i $C$ oraz zaznaczono odległości między nimi.
O godzinie 9:00 z miejscowości $A$ do $C$ wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się z prędkością $4$ km/h. O tej samej godzinie z miejscowości $B$ do $A$ wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze” i przemieszczał się z prędkością $2$ km/h.
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Zapisz obliczenia.

Firma X wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący:
$$P(Q) = 90 - 0,1Q \quad \text{dla } Q \in [0, 900]$$
gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ – ilością produktu w tys. sztuk.
Koszty $K$ wytworzenia produktu D zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco:
$$K(Q) = 0,002Q^3 + Q^2 + 29,9985Q + 50$$
gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk. Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDE$ punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $ABCD$ do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy $1: 5$. Przez przekątną $AC$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $BE$ poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $BSO$ (w zaokrągleniu do $1^\circ$). Zapisz obliczenia.
Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste o równaniach
$2x + y - 4m - 4 = 0$ oraz $x - 3y + 5m + 5 = 0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $(x_P, y_P)$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których współrzędne punktu $P$ spełniają warunki:
$$x_P > 0, y_P > 0, y_P \geq x_P^2 \quad \text{oraz} \quad 2 < -\dfrac{8}{(y_P)^2} + \dfrac{8}{x_P}.$$
Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ trapez $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku w punkcie $S = (19, -11)$ i promieniu $17\sqrt{2}$. Wierzchołek $A$ trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek $AB$ jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna $AC$ trapezu $ABCD$ jest zawarta w prostej o równaniu $y = x$.
Oblicz sinus kąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem takim, że $\vec{BD} = [-21, -7]$ i $\vec{DC} = [15, 8]$.
Oblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $CG$ tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).
Oblicz odległość wierzchołka $C$ od płaszczyzny zawierającej punkty $B, D$ oraz $P$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$. Ramię $BC$ trapezu ma długość $5$. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $2$. Punkt $P$ jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy $AB$ tego trapezu (zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąty $BPS$ i $BSC$ są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego podobieństwa. Zapisz obliczenia.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt $S$ pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie $P$ położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości $H_0$ metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy $B$ znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości $H_1$ metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości $H_2$ metrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.).
Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć do bazy. Zapisz obliczenia.
Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia $\alpha$.
Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu $P$ do $B$ na wycinku koła.

Niech $n$ będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru $\mathbb{M} = \{1; 2; 3; ... ; 3n + 1\}$ losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie $A$ odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru $\mathbb{M}$ trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Zapisz obliczenia.

Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że $40\%$ rozegranych z synem partii wygrywa.
Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od $0,95$. Zapisz obliczenia.

Pewna choroba dotyka $0,2\%$ całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe $0,99$. Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe $0,98$.
Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie $A$ miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu $B$.
Oblicz, ile jest najkrótszych dróg z $A$ do $B$. Zapisz obliczenia.