Matura CKE Czerwiec 2017 – Matematyka Rozszerzona

Równanie $||x - 4| - 2| = 2$ ma dokładnie

Liczba $\log_{4} 25 + \log_{2} 10$ jest równa

Punkt $P' = (3, -3)$ jest obrazem punktu $P = (1, 3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S = (-2, 12)$. Skala tej jednokładności jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x}{2x - 8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 4. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x = \sqrt{2} + 4$ jest równa

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\dfrac{1}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -1$ i $x_2 = 12$. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność
$$5x^2 + y^2 - 4xy + 6x + 9 \geq 0.$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $\alpha = |\sphericalangle BAC|$, $\beta = |\sphericalangle ABC|$ i $\gamma = |\sphericalangle ACB|$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli $\alpha + \beta = 2\gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Z cyfr $0, 1, 2$ tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez $15$. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_n)$. Wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $124$. Natomiast pierwszy wyraz $b_1$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_n)$ jest równa $18$. Wyznacz te ciągi.

Rozwiąż równanie $3\sin \left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) + \cos \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

Prosta $l$, na której leży punkt $P = (8, 2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym $36$. Wyznacz równanie prostej $l$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - 3mx + 2m^2 + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty, 3)$.

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości $6$ wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości $12$, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości $8$, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1 : 2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od $28$. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.