Matura SMWP Październik 2025 – Matematyka Rozszerzona

Fundacja założyła w internecie zbiórkę pieniędzy na leczenie, której celem jest uzbieranie $2 500 000$ zł. Wraz z publikacją zbiórki, fundacja wpłaciła na nią datek w wysokości $W_0$ zł.
Łączna kwota zbiórki $K$ zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą
$$K(t) = W_0 \cdot g^t$$
gdzie
$g$ – stała dodatnia, charakterystyczna dla danej zbiórki i dynamiki dokonywanych wpłat
$t$ – czas wyrażony w dniach, liczony od chwili $t = 0$ publikacji zbiórki
Po dwóch dniach na zbiórkę wpłacono łącznie $50 225$ złotych, natomiast po czterech dniach na koncie zbiórki zebrano kwotę $98 441$ zł.
Oblicz kwotę wpłaconego datku $W_0$ przez fundację. Rozstrzygnij, czy w przeciągu dwóch tygodni, zbiórka uzbierała potrzebną kwotę na leczenie. Odpowiedź uzasadnij. Zapisz obliczenia.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $|CD| = 17$ oraz $|AD| = 19$.
Przekątna $|BD|$ czworokąta ma długość $11\sqrt{6}$ i cosinus kąta $BAD$ jest równy $\left(-\dfrac{2}{17}\right)$.
Ponadto, na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.
Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Franek kupuje porcję lodów. Do wyboru ma osiem smaków: śmietankowy, waniliowy, czekoladowy, truskawkowy, ciasteczkowy, miętowy, karmelowy oraz pistacjowy. Franek prosi sprzedawcę o nałożenie mu dokładnie czterech gałek o losowo wybranym smaku.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że Franek otrzyma co najmniej dwie gałki spośród smaków: śmietankowego, truskawkowego, karmelowego albo pistacjowego, jeżeli wiadomo, że Franek otrzyma dokładnie jedną gałkę o smaku czekoladowym, oraz żaden smak się nie powtórzy. Zapisz obliczenia.

Na trójkącie $ABC$, w którym $|AB| = b$ oraz $|\sphericalangle ACB| = \alpha$ i $|\sphericalangle BAC| = 3\alpha$ opisano okrąg o promieniu $R$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że $b = R\sqrt{\dfrac{3\sin\alpha - \sin 3\alpha}{\sin\alpha}}$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach parzystych jest równa $444,(4)$, tj.
$$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots = 444,(4)$$
Ponadto $\sqrt{a_1 \cdot a_3} = 160$ oraz ciąg $(a_n)$ jest monotoniczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ parabole $f(x) = x^2 + 8x$ oraz $g(x) = 3x^2 + 5x + 1$ przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Ponadto, wektory $\vec{u}$, $\vec{v}$ oraz $\vec{w}$ spełniają zależności: $\vec{v} = -8\cdot \vec{AB}$, $\vec{u} = [-4, 23]$ oraz $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.
Oblicz długość wektora $\vec{w}$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$$f(x) = (2m + 1)\cdot x^2 - 6x + m - 3$$
dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ przeciwnych znaków, które spełniają warunek
$$x_1^3 + x_2^3 > (x_1 + x_2)^4$$
Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^\circ$.
Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola podstawy $ABCD$. Zapisz obliczenia.