Próbna Matura Nowa Era Styczeń 2019 – Matematyka Rozszerzona

Liczba $4^{\log_2(\sqrt{2}-1)}$ jest równa

Liczba $\dfrac{|x - |x||}{x}$ jest dla każdego $x$
eq 0

Ciąg liczb rzeczywistych $a_1, a_2, \dots$ jest zdefiniowany warunkami $a_1 = 1$ oraz $(a_{n+1})^3 = 99(a_n)^3$ dla $n \geq 1$. Wówczas wyraz $a_{100}$ jest równy

Wskaż zbiór wszystkich rozwiązań równania $|\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)| = 3$.

Oblicz granicę ciągu o wyrazie $a_n = 2\left(\sqrt{n^2+100n+5} - \sqrt{n^2-n+200}\right)$.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfry wyniku.

Wyznacz parę liczb $p, q \in R$ tak, by wielomian $x^4 + px^2 + q$ był podzielny przez trójmian $x^2 + 6x + 5$.

Wyznacz liczbę takich permutacji zbioru $\{1, 2, 3, \dots, 31\}$ kolejnych liczb całkowitych z przedziału $\langle 1, 31 \rangle$, w których iloczyn każdych dwóch sąsiednich liczb jest liczbą parzystą. Wynik przedstaw w postaci iloczynu $m! \cdot n!$, gdzie $m, n$ są pewnymi liczbami całkowitymi.

Długości boków czworokąta wypukłego $ABCD$ wynoszą: $|AB| = a$, $|BC| = 2a$, $|CD| = b$, $|AD| = 2b$. Wykaż, że jeśli pole czworokąta $ABCD$ jest równe $a^2 + b^2$, to jest on prostokątem.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trapez $ABCD$, w którym kąty $ABC$ i $BCD$ są proste, $|\sphericalangle DAB| = 60^\circ$, $|AB| = 2$ oraz $|BD| = \sqrt{3}$. Wyznacz długość odcinka $AC$.

W pudełku znajduje się sto kul ponumerowanych liczbami od 1 do 100. Wylosowanie każdej z kul jest tak samo prawdopodobne. Wylosowano jednocześnie pięć kul. Wyznacz prawdopodobieństwo, że numery wylosowanych kul ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ściśle rosnący ciąg geometryczny o całkowitym ilorazie.

Wykaż, że jeśli $\alpha, \beta, \gamma$ są kątami trójkąta i zachodzi równość $\dfrac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \beta} = \dfrac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}$, to $\alpha = \beta$ lub $\gamma = 90^\circ$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Jednokładność $f$ o środku w punkcie $X$ przekształca punkt $A = (3, 2)$ na punkt $A' = (4, 6)$ oraz przeprowadza punkt $B = (-3, 3)$ na punkt $B' = (-8, 8)$. Znajdź równanie okręgu, którego obrazem przy jednokładności $f$ jest okrąg o równaniu $(x - 8)^2 + (y - 2)^2 = 4$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in R$, dla których równanie $(1 - m)9^x + 4 \cdot 3^x = m + 2$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Dany jest trójkąt $ABC$ o polu równym 5, gdzie $A = (5, 3)$ oraz $B = (1, 0)$. Prosta zawierająca wysokość trójkąta $ABC$ ma równanie $y = 2x - 7$. Wyznacz współrzędne punktu $C$.

Para liczb $(m_0, n_0)$ jest rozwiązaniem układu równań
$$\begin{cases} m + n = 2 \\\ m - n = \dfrac{-2}{p + 1} \end{cases}$$
gdzie $p$
eq -1.
a) Wyznacz wzór funkcji $f(p) = \dfrac{m_0}{n_0}$, podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.
b) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P(-3, f(-3))$.

Niech $x$ będzie liczbą dodatnią. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany spełniające następujące warunki:
(1) podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości $x$,
(2) pole (prostokątnego) przekroju prostopadłościanu płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przekątne dwu ścian bocznych jest równe $\sqrt{3}$ (patrz rysunek).
Zapisz kwadrat objętości tego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej $x$.
Wyznacz wszystkie wartości $x > 0$, dla których istnieje prostopadłościan spełniający drugi warunek.
Znajdź długości krawędzi tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa.