Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Styczeń 2016 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0−1)
Suma wszystkich rozwiązań równania $||x - 4| - 2| = 3$ jest równa

Zadanie 2. (0−1)
Ciąg $(a_n)$ jest zdefiniowany rekurencyjnie:
$\begin{cases} a_1 = 4 \ a_{n+1} = \dfrac{2a_n}{\sqrt{2}} \text{ dla } n \geq 1 \end{cases}$
Wskaż wzór ogólny ciągu $(b_n)$, w którym $b_n = a_n + a_{n+2}$ dla $n \geq 1$.

Zadanie 3. (0−1)
Jedyny pierwiastek rzeczywisty wielomianu $w(x) = 2x^3 + (c - 5)x^2 + cx - 5$ o współczynnikach całkowitych jest liczbą pierwszą. Zatem parametr $c$ jest równy

Zadanie 4. (0−1)
Liczby $x, y, z$ są dodatnie i różne od $1$ oraz $\log_x \sqrt{y} = \dfrac{1}{3}$ i $\log_y \sqrt[3]{z} = \dfrac{1}{4}$. Wskaż wartość wyrażenia $\log_z \sqrt[4]{x}$.

Zadanie 5. (0−1)
Ile różnych funkcji można utworzyć na zbiorze $X=\{-2, -1, 3, 4\}$ o wartościach ze zbioru $Y=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$?

Zadanie 6. (0–2)
Oblicz wartość parametru $k$, dla której granica $\lim_{n \to \infty} \dfrac{kn! - (n - 2)!}{(k - 2)n! + k(n - 1)!}$ jest równa $9$.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 7. (0–2)
Na rysunku przedstawiono fragment nieskończonego ciągu na przemian czarnych i białych kwadratów o wspólnym wierzchołku $D$. Kwadrat $A_1B_1C_1D$ koloru czarnego ma bok długości $3\sqrt{13}$. Długość boku każdego następnego kwadratu stanowi $\dfrac{2}{3}$ długości boku kwadratu poprzedniego. Oblicz pole obszaru zaznaczonego kolorem czarnym w nieskończonym ciągu tych kwadratów.

Zadanie 8. (0–3)
W trójkącie prostokątnym $ABC$, w którym bok $AB$ jest przeciwprostokątną, na boku $BC$ obrano punkt $D$ taki, że $|\measuredangle DAB| = 2|\measuredangle CAD|$. Długość odcinka $BD$ jest równa $a$, a kąt $CAD$ ma miarę $\alpha$. Wykaż, że $|AD| = \dfrac{a(1 - 4\sin^2\alpha)}{2\sin\alpha}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 9. (0−3)
Wykaż, że wielomian $f(x) = 3x^{10} - 5x^6 + 3$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zadanie 10. (0−4)
Rozwiąż równanie $\sin x \cos 3x + \operatorname{tg} x \cos^2 x = 0$.

Zadanie 11. (0−4)
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \dfrac{x + 3}{1 - x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 1. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które tworzą z osią $Ox$ kąt $45^{\circ}$.

Zadanie 12. (0−4)
Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru $\{1, 2, 3, \dots, n\}$, gdzie $n \geq 2$. Wyznacz te wartości $n$, dla których prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb różniących się od siebie co najmniej o trzy jest równe $\dfrac{7}{12}$.

Zadanie 13. (0−5)
W trapez równoramienny $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$, wpisano okrąg o środku $S$. Odległość punktu $S$ od końców dłuższej podstawy $AB$ jest równa $10$, a cosinus kąta ostrego tego trapezu jest równy $\dfrac{3}{5}$. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 14. (0−5)
Odcinek $A'B'$ jest obrazem odcinka o końcach $A=(2, 6)$ oraz $B=(-4, 4)$ w jednokładności o środku $O=(0, 3)$ i skali $k$
eq 0. Punkt $A'$, który jest obrazem punktu $A$ w tej jednokładności, leży na prostej o równaniu $x+2y+10=0$. Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek $A'B'$.

Zadanie 15. (0−6)
Prosta o równaniu $y=(a-3)x+a+4$ przecina parabolę o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x^2 - 2ax + a + 8$ w dwóch punktach o pierwszych współrzędnych $x_1, x_2$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których współrzędne $x_1, x_2$ spełniają nierówność $x_1^3 + x_2^3 \leq 9x_1x_2$.

Zadanie 16. (0−7)
Ostrosłup $ABCS$ o podstawie $ABC$, będącej trójkątem równobocznym, i wysokości $SD$, gdzie $D$ jest środkiem odcinka $AB$, przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).
Punkty $E, F, G$ są punktami wspólnymi płaszczyzny przekroju i krawędzi bocznych ostrosłupa. Punkty $E', F', G'$ leżą na podstawie $ABC$ i odcinki $EE', FF', GG'$ są do niej prostopadłe. Wiedząc, że $|AB|=12$ i $|SD|=16$, oblicz, w jakiej odległości od płaszczyzny podstawy należy poprowadzić przekrój ostrosłupa, aby graniastosłup $E'F'G'EFG$ miał największą objętość.