Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Styczeń 2018 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0−1)
Równanie $|(x + 2)^2 - 3| = 2a + 1$ z niewiadomą $x$ ma dokładnie trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy

Zadanie 2. (0−1)
Wskaż przedział, w którym wielomian $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ jest funkcją malejącą.

Zadanie 3. (0−1)
Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem $a_n = \dfrac{3n(n^2 - 1)}{(2n + 1)^3}$ dla $n \ge 1$. Wtedy

Zadanie 4. (0−1)
Funkcja $f$, której dziedziną jest zbiór $(2, \infty)$, jest określona wzorem: $f(x) = x + 2 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2} + \dots$. Wartość funkcji $f$ jest równa $8$ dla argumentu

Zadanie 5. (0−1)
Wskaż równanie okręgu, którego obrazem w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [3, -2]$ jest okrąg o równaniu: $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$.

Zadanie 6. (0−2)
W trójkącie ostrokątnym $ABC$ $\sin \sphericalangle BAC = \dfrac{4}{5}$, a $\sin \sphericalangle ABC = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Oblicz $\cos \sphericalangle ACB$. W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 7. (0−3)
W czworokącie $ABCD$ dane są: $|AC| = 5$, $|\sphericalangle BAD| = |\sphericalangle BCD| = 90^\circ$, $\sin \sphericalangle ABC = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$. Oblicz długość przekątnej $BD$ tego czworokąta.

Zadanie 8. (0−3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność:
$x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9 \ge 0$.

Zadanie 9. (0−3)
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem:
$$a_n = \dfrac{1}{\log_2 (n + 1)} + \dfrac{1}{\log_3 (n + 1)} + \dfrac{1}{\log_4 (n + 1)} + \dots + \dfrac{1}{\log_{2018} (n + 1)}$$
dla $n \ge 1$.
Uzasadnij, że wzór ciągu $(a_n)$ można zapisać w postaci $a_n = \log_{2018!} (n + 1)$ i oblicz wartość wyrażenia $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2017}$.

Zadanie 10. (0−5)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające równanie: $2 \sin^2 x - \cos 2x = 1$. Oblicz sumę wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału $\langle 0, 32\pi \rangle$.

Zadanie 11. (0−5)
Urna zawiera $5$ kul ponumerowanych od $1$ do $5$. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej kuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły liczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zadanie 12. (0−5)
W ostrosłupie $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równoramiennym o ramionach $AC$ i $BC$ długości $4$ i kącie między nimi $30^\circ$. Punkt $E$ – środek krawędzi $AB$ – jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa, a krawędź boczna $CS$ tworzy z podstawą kąt $60^\circ$. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź $AB$ i mającą z przeciwległą krawędzią boczną $CS$ wspólny punkt $D$ (jak na rysunku). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że z podstawą ostrosłupa tworzy on kąt $75^\circ$. Podaj dokładny wynik obliczeń.

Zadanie 13. (0−6)
Funkcja kwadratowa $f(x) = (2m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 1$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$, $x_2$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi nie więcej niż $4$.

Zadanie 14. (0−6)
Wyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x^2$ i okręgu o równaniu $x^2 + \left(y + \dfrac{5}{2}\right)^2 = 2$.

Zadanie 15. (0−7)
Prosta o równaniu $y = a^2 x + 3a$ przecina hiperbolę o równaniu $y = \dfrac{4}{x}$ w dwóch punktach, $A$ i $B$. Wyraź długość odcinka $AB$ w zależności od wartości parametru $a < 0$. Wyznacz równanie prostej, która przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka $AB$ była najmniejsza.