Matura CKE Maj 2008 – Matematyka Podstawowa

Zadanie 1. (4 pkt)
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną $ABCD$, która jest wykresem funkcji $y = f(x)$.
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji $f$,
b) podaj wartość funkcji $f$ dla argumentu $x = 1 - \sqrt{10}$,
c) wyznacz równanie prostej $BC$,
d) oblicz długość odcinka $BC$.

Zadanie 2. (4 pkt)
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest $n$ boków i $n \ge 3$ wyraża się wzorem $P(n) = \dfrac{n(n-3)}{2}$.
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:
Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.
Odpowiedź uzasadnij.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie $4^{23}x - 32^{9}x = 16^{4} \cdot (4^{4})^{4}$.
Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci $2^{k}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4. (3 pkt)
Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o $10\%$, a drugi raz o $5\%$. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje $4,62$ zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.

Zadanie 5. (5 pkt)
Nieskończony ciąg liczbowy $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = 2 - \dfrac{1}{n}$, $n = 1, 2, 3, \dots$.
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest mniejszych od $1,975$.
b) Dla pewnej liczby $x$ trzywyrazowy ciąg $(a_{2}, a_{7}, x)$ jest arytmetyczny. Oblicz $x$.

Zadanie 6. (5 pkt)
Prosta o równaniu $5x + 4y - 10 = 0$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punkcie $A$ oraz oś $Oy$ w punkcie $B$. Oblicz współrzędne wszystkich punktów $C$ leżących na osi $Ox$ i takich, że trójkąt $ABC$ ma pole równe $35$.

Zadanie 7. (4 pkt)
Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość $4\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$ oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach $30^\circ$ i $45^\circ$. Oblicz wysokość tego trapezu.

Zadanie 8. (4 pkt)
Dany jest wielomian $W(x) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45$.
a) Sprawdź, czy punkt $A = (1, 30)$ należy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian $W$ w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Zadanie 9. (5 pkt)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $f(x) = (2x+1)(x-2)$ w przedziale $\langle -2, 2 \rangle$.

Zadanie 10. (3 pkt)
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji $h$, określonej wzorem $h(x) = \dfrac{a}{x}$ dla $x$
eq 0.
Wiadomo, że do wykresu funkcji $h$ należy punkt $P = (2,5)$.
a) Oblicz wartość współczynnika $a$.
b) Ustal, czy liczba $h(\pi) - h(-\pi)$ jest dodatnia czy ujemna.
c) Rozwiąż nierówność $h(x) > 5$.

Zadanie 11. (5 pkt)
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się $\dfrac{a^2 \sqrt{15}}{4}$, gdzie $a$ oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem $\beta$. Oblicz $\cos \beta$ i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość $\beta$ z dokładnością do $1^\circ$.

Zadanie 12. (4 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:
a) $A$ – w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.
b) $B$ – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od $9$.
c) $C$ – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od $9$.