Matura CKE Marzec 2022 (Pokazowy) – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $\log_7 98 - \log_7 2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra $2$, jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wartość wyrażenia $(3 + 4a)^2 - (3 - 4a)^2$ jest równa

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Dany jest wielomian
$$W(x) = 3x^3 + kx^2 - 12x - 7k + 12$$
gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba $(-2)$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $k$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
$$\dfrac{(4x - 6)(x - 2)^2}{2x(x - 1{,}5)(x + 6)} = 0$$
ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2 + 2023$ jest podzielna przez $8$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok.
Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zadanie 10.1. (0–1)
Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x - 2)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zadanie 10.2. (0–1)
Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności:
$f(x) \le 0$

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zadanie 10.3. (0–3)
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej.
Zapisz obliczenia.

Dana jest funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji $f$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynniki $a$ i $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny $P$ swojego produktu na liczbę $Q$ kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o $1$ jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o $3$ jednostki. Ponadto przy cenie równej $5$ jednostek liczba kupujących jest równa $12$ jednostek.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki.
Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą
$$m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T}}$$
gdzie:
$m_0$ – masa przyjętej dawki leku
$T$ – czas półtrwania leku
$t$ – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.
W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.
Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0 = 100$ mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy $T = 4$ doby.
Zadanie 13.1. (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wykres zależności masy $M$ leku L w organizmie tego pacjenta od czasu $t$, liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki.
Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą
$$m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T}}$$
gdzie:
$m_0$ – masa przyjętej dawki leku
$T$ – czas półtrwania leku
$t$ – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.
W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.
Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0 = 100$ mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy $T = 4$ doby.
Zadanie 13.2. (0–3)
Oblicz masę leku L w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do $0{,}1$ mg.
Zapisz obliczenia.

Klient wpłacił do banku $20 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $3\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po $2$ latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = -3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Liczby $2$, $(-1)$, $(-4)$ są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu $(a_n)$.	P	F
2.	$(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej $5$.	P	F

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 6$, $|BC| = 5$, $|AC| = 10$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Cosinus kąta $ABC$ jest równy $(-0{,}65)$.	P	F
2.	Trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny.	P	F

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dany jest okrąg o środku $S = (2, -5)$ i promieniu $r = 3$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie tego okręgu ma postać

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO| = 5$, $|BO| = 3$, $|OC| = 10$, $|\sphericalangle OAB| = |\sphericalangle OCD|$ (zobacz rysunek).
Oblicz długość boku $OD$ trójkąta $ODC$.
Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -3x + 1$.
Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.
19.1. Jedną z prostych równoległych do prostej $k$ jest prosta o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$. Wierzchołki $A = (-2, 1)$ i $C = (4, 5)$ są końcami przekątnej tego kwadratu.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ jest równa

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r = 8$ (zobacz rysunek).
Cięciwa $AC$ ma długość $8\sqrt{3}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta $BAC$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $4\operatorname{tg} \alpha = 3\sin^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ i $KLM$ o polach równych – odpowiednio – $P$ oraz $2P$. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $x$.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Obwód trójkąta $KLM$ jest równy

A.	$\sqrt{2} \cdot x$,	ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy	1.	kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.
B.	$2x$,		2.	pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów.
			3.	stosunkowi pól tych trójkątów.

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $O$. Proste $k$ i $l$ są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $A$ i $B$. Te proste przecinają się w punkcie $S$ i tworzą kąt o mierze $76^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta $OBA$ jest równa

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt $ABCD$, w którym bok $BC$ odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna $AC$ tego prostokąta ma długość $16$ i tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCS$ o podstawie $ABC$. Punkty $D$, $E$ i $F$ są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych $AS$, $BS$ i $CS$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek objętości ostrosłupa $DEFS$ do objętości ostrosłupa $ABCS$ jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ (zobacz rysunek obok).
Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy ścianą boczną $ACFD$ i przekątną $AE$ ściany bocznej $ABED$ tego graniastosłupa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od $1000$ do $9999$. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej $3$, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.
Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^\circ$.
Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku.
Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Zapisz obliczenia.

W pewnej grupie $100$ uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.
Zadanie 30.1. (0–1)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa $2{,}25$ godziny.	P	F
2.	Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż $2{,}5$ godziny.	P	F

W pewnej grupie $100$ uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.
Zadanie 30.2. (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa