Matura CKE Czerwiec 2024 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $2^{-1} \cdot 32^{\dfrac{3}{5}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_{3}{\left(\dfrac{3}{2}\right)} + \log_{3}{\left(\dfrac{2}{9}\right)}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $(2\sqrt{10} + \sqrt{2})^2$ jest równa

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości $K_0$ zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $5n^3 - 5n$ jest podzielna przez $30$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności
$$\dfrac{3x - 5}{12} < \dfrac{1}{3}$$
jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań $\begin{cases} x - 2y = 3 \ -4x + 8y = -12 \end{cases}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od: $(-1)$, $0$ i $1$, wartość wyrażenia $\dfrac{2x^2}{x^2 - 1} \cdot \dfrac{x + 1}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

Wielomian $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ jest iloczynem wielomianów $F(x) = (2 - 3x)^2$ oraz $G(x) = 3x - 2$.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Suma $a + b + c + d$ współczynników wielomianu $W$ jest równa .................. .

Rozwiąż równanie
$$4x^3 - 12x^2 - x + 3 = 0$$
Zapisz obliczenia.

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z prostą o równaniu $y = 2$ ma obie współrzędne całkowite.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) \le 2$ jest przedział .................. .

Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $g$, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $Ox$ o $4$ jednostki w lewo.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.
Funkcje $f$ i $g$ są powiązane zależnością

A. $g(x) = f(x + 4)$	oraz mają takie same	1. dziedziny.
B. $g(x) = f(x - 4)$		2. zbiory wartości.
C. $g(x) = f(x) - 4$

Funkcja $y = f(x)$ jest określona za pomocą tabeli
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $y$ $-1$ $0$ $1$ $0$ $3$ Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
2.	W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ jest symetryczny względem osi $Oy$.	P	F

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x) = (3 - m)x + 4$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $m$ jest równa

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ dokładnie dwa punkty wspólne: $M = (0, 18)$ oraz $N = (3, 0)$.
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x + 1)^2 + 4$.
Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, fragment wykresu funkcji $y = f(x)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Fragment wykresu funkcji $y = f(x)$ przedstawiono na rysunku

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1} + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, dane są wyrazy: $a_1 = 7$ oraz $a_2 = 13$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyraz $a_{10}$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(-1, 2, x)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $(-1, 2, y)$ jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $1 + \cos^2 27^\circ$ jest równa

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB| = 8$ oraz $|CD| = 5$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Długość łuku $AB$, na którym jest oparty kąt wpisany $ACB$, jest równa $\dfrac{1}{5}$ długości okręgu (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $ACB$ jest równa

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość równą $12$. Punkt $S$ jest środkiem boku $BC$ tego kwadratu. Na odcinku $AS$ leży punkt $P$ taki, że odcinek $BP$ jest prostopadły do odcinka $AS$.
Oblicz długość odcinka $BP$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu
$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$$
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Do okręgu $\mathcal{O}$ należy punkt o współrzędnych $(-1, -3)$.	P	F
2.	Promień okręgu $\mathcal{O}$ jest równy $5$.	P	F

Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (2, 8)$ oraz $B = (10, 2)$. Symetralna odcinka $AB$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punkcie $P$.
Oblicz współrzędne punktu $P$ oraz długość odcinka $AP$. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy ma $2024$ ściany boczne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Przekątna ściany sześcianu ma długość $2\sqrt{2}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego sześcianu jest równa

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\operatorname{tg} \alpha = 2$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $2$, $4$, $7$ (np.: $7272$, $2222$, $7244$), jest

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest $18$. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe $\dfrac{3}{5}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód $P$ ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o $x$ zł, wyraża się wzorem
$$P(x) = (70 - x)(20 + x)$$
gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x \ge 0$ i $x \le 60$.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

32.1.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba $x$ jest równa
32.2.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy $800$ zł, gdy liczba $x$ jest równa