Próbna Matura OKE Czerwiec 2004 – Matematyka Podstawowa

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-3x+b$ jest $\sqrt{2}$. Oblicz $b$.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=(1-x)(x+1)+2x$. Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$.

Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest $8$ miejsc, a w każdym następnym rzędzie o $2$ miejsca więcej niż w rzędzie poprzednim. W każdym sektorze są $22$ rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc na widowni.

Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt $ABC$ (o podstawie $AC$) oraz prostokątny równoramienny trójkąt $BDC$ (o podstawie $BC$). Uzasadnij, że $\cos(\angle ACD) < \dfrac{1}{2}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W architekturze islamu często stosowanym elementem był „łuk podkowiasty”. Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej.
Korzystając z danych na rysunku oblicz wysokość okna $h$ i największy prześwit $d$.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o $3$ od niej mniejszą.
a. Podaj wzór funkcji $f$
b. Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie $f(x)+3=0$.

Pole trójkąta o wierzchołkach $A = (1, 2)$, $B = (3, 0)$, $C = (2, 4)$ można obliczyć stosując następującą metodę:
- zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty $ABC$;
- rysujemy prostokąt $KLMN$ w sposób przedstawiony na rysunku (odpowiednie boki prostokąta mają być równoległe do osi układu współrzędnych);
- odczytujemy długości odpowiednich odcinków:
$|KL| = 2$, $|LM| = 4$, $|AK| = 2$, $|MC| = 1$, $|CN| = 1$, $|NA| = 2$;
- obliczamy pole prostokąta: $P_{KLMN} = |KL| \cdot |LM| = 2 \cdot 4 = 8$;
- obliczamy pola odpowiednich trójkątów prostokątnych:
$P_{\Delta AKL} = \dfrac{1}{2} |AK| \cdot |KL| = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
$P_{\Delta LMC} = \dfrac{1}{2} \cdot |LM| \cdot |MC| = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$
$P_{\Delta CNA} = \dfrac{1}{2} \cdot |CN| \cdot |NA| = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$;
- od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: $P_{\Delta ABC} = 8 - (2 + 2 + 1) = 3$.
Stosując opisaną wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A = (1, 0)$, $B = (5, 1)$, $C = (3, 4)$.

Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n = n^2 - 5$.
a. Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu.
b. Sprawdź, na podstawie definicji, czy ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym.

Punkty $A = (-1, -2)$, $B = (2, -1)$, $C = (1, 2)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$.
a. Oblicz długość odcinka $AB$.
b. Napisz równanie prostej $m$, do której należą punkty $B$ i $C$.
c. Napisz równanie prostej $k$ prostopadłej do prostej $m$ takiej, że $A \in k$.
d. Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ nie należy do prostej $k$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dane są liczby $a = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{5}$ i $b = \dfrac{\sqrt{3} + 2}{5}$.
a. Sprawdź, czy $\dfrac{a - b}{a \cdot b} = 20$
b. Oblicz $\left| \dfrac{a}{b} \right|$

Dane są wielomiany $Q(x) = x^3 - x^2 + 2$ i $S(x) = -2x^2 - 2x + 4$.
a. Sprawdź, czy liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q(x)$.
b. Wielomian $P(x)$ jest sumą wielomianów $Q(x)$ i $S(x)$. Rozłóż wielomian $P(x)$ na czynniki liniowe.