Matura CKE Maj 2024 – Fizyka Rozszerzona

Kropla wody oderwała się od dachu budynku w chwili $t_A$ i następnie opadała pionowo w powietrzu. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność wartości $v$ prędkości kropli od czasu $t$ od chwili $t_A = 0\text{ s}$ do chwili $t_F = 4\text{ s}$, w której kropla uderzyła o podłoże.
Na wykresie oznaczono wybrane punkty: $A, B, C, D, E, F$. Ruch kropli opisujemy w układzie odniesienia związanym z ziemią i zakładamy, że jest to układ inercjalny.
Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• podczas opadania kropli działają na nią dwie siły: siła oporu powietrza $\vec{F_o}$ oraz siła grawitacji $\vec{F_g}$ (pomijamy siłę wyporu aerostatycznego)
• kropla jest kulą o promieniu $R$, a jej masa się nie zmienia
• wartość siły oporu działającej na kroplę wyraża się wzorem:
  $$F_o = k \rho_p S v^2$$, gdzie $k$ jest pewnym współczynnikiem, $\rho_p$ jest gęstością powietrza, $S$ jest polem przekroju poprzecznego przez środek kropli, $v$ jest wartością prędkości kropli
• ruch kropli od chwili $t_D$ traktujemy jako jednostajny prostoliniowy, czyli przyjmij, że część $DF$ wykresu jest poziomym odcinkiem.

Jednorodny walec o masie $m = 10\text{ kg}$ i promieniu $R$ był ciągnięty siłą o wartości $F = 30\text{ N}$ po płaskiej poziomej powierzchni. Siła $\vec{F}$ była przyłożona poziomo do uchwytu i prostopadle do osi obrotu walca (zobacz rysunki 1.–3.).
Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• walec toczył się bez poślizgu
• w kierunku poziomym na walec działały tylko: stała siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$
• siła tarcia $\vec{T}$ między walcem a powierzchnią nie osiągnęła wartości maksymalnej
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• moment bezwładności walca względem jego osi obrotu – będącej osią symetrii walca – wyraża się wzorem: $I_0 = \dfrac{1}{2}m R^2$
• ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• pomijamy masę osi obrotu walca i masę jej uchwytu.

Ciężarek o masie $m = 100,0\text{ g}$ jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.
Przyjmujemy, że ciężarek drga wzdłuż osi $y$ skierowanej pionowo w górę. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości $v_y$ ciężarka od czasu $t$. Dodatnia wartość współrzędnej prędkości $v_y$ oznacza, że zwrot wektora prędkości ciężarka jest w górę, a ujemna wartość – że zwrot wektora prędkości jest w dół. Prędkość ciężarka określamy w układzie odniesienia związanym z ziemią.
Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• na ciężarek działają tylko siła sprężystości $\vec{F_s}$ sprężyny i siła grawitacji $\vec{F_g}$
• wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciężarek, jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny ponad jej długość swobodną (gdy jest nierozciągnięta)
• układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako układ inercjalny
• pomijamy opory ruchu
• pomijamy masę sprężyny
• przyśpieszenie grawitacyjne ziemskie ma wartość $g = 9,81\text{ m/s}^2$.

Ambulans z włączoną syreną dźwiękową jedzie wzdłuż prostego odcinka drogi. Przez pewien czas porusza się wzdłuż prostej pomiędzy obserwatorami $\mathcal{B}$ oraz $\mathcal{A}$, którzy stoją przy drodze (zobacz rysunek poniżej). Prędkość ambulansu oznaczymy jako $\vec{v}$.
Do obserwatora $\mathcal{A}$, do którego zbliża się ambulans, dociera dźwięk o długości fali $\lambda_A$.
Do obserwatora $\mathcal{B}$, od którego oddala się ambulans, dociera dźwięk o długości fali $\lambda_B$.
Przyjmij model zjawiska, w którym częstotliwość dźwięku wytwarzanego przez głośnik syreny ambulansu (źródło dźwięku) była stała i wynosiła $f_0$ (tzn. membrana głośnika syreny drgała z częstotliwością $f_0$). Pomiń inne źródła dźwięku.

Ziemia i Księżyc poruszają się dookoła punktu $S$ – ich wspólnego środka masy – po orbitach eliptycznych, które są zbliżone do orbit kołowych.
Przyjmij następujące warunki zadania i oznaczenia:

• środek Ziemi oznaczymy jako punkt $Z$, środek Księżyca oznaczymy jako punkt $K$, a odcinek łączący środek Ziemi ze środkiem Księżyca oznaczymy jako $ZK$
• odległość $|ZK|$ pomiędzy środkiem Ziemi a środkiem Księżyca się zmienia
• stosunek masy Ziemi do masy Księżyca wynosi $\dfrac{M_Z}{M_K} \approx 81,28$
• Ziemia i Księżyc są kulami, każda ze sferycznie symetrycznym rozkładem masy.

Zadanie 6. (0–3)
Trzy punktowe, ujemne ładunki elektryczne: $Q_1$, $Q_2$ i $Q_3$ umieszczono nieruchomo w próżni w wierzchołkach kwadratu (zobacz rysunek). Długość boku tego kwadratu jest równa $a$.
Wartości ładunków $Q_1$, $Q_2$ i $Q_3$ wyrażają się poprzez pewną wartość $q$ następująco:
$$Q_1 = -2q \quad Q_2 = -q \quad Q_3 = -2q \quad \text{gdzie} \quad q > 0$$
Punkt przecięcia przekątnych kwadratu oznaczymy jako $S$.
Na powyższym rysunku narysuj i podpisz $\vec{E_S}$ – wektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie $S$. Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora.


Zapisz wzór pozwalający wyznaczyć $E_S$ – wartość tego wektora – w zależności tylko od $a$, od $q$ oraz od odpowiedniej stałej fizycznej.

Do źródła stałego napięcia $U$ podłączono trzy identyczne oporniki: $\mathcal{R}_1$, $\mathcal{R}_2$, $\mathcal{R}_3$, oraz amperomierz A – w taki sposób, jak pokazano na poniższym schemacie obwodu elektrycznego (zobacz rysunek 1.). Opór każdego opornika jest stały i równy $R$:
$$R_1 = R_2 = R_3 = R$$
W pewnym momencie opornik $\mathcal{R}_1$ uległ uszkodzeniu, a obwód w tym miejscu został przerwany (zobacz rysunek 2.).
Napięcie $U$ zasilające obwód jest takie samo w obu opisanych powyżej sytuacjach.
Opór wewnętrzny amperomierza A i źródła napięcia oraz opór przewodów pomijamy.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego. Te przemiany gazu zachodzą podczas pracy pewnego silnika cieplnego S. Gaz oddaje ciepło do chłodnicy, a pobiera ciepło z grzejnika.
Stany gazu, w których zmienia się rodzaj przemiany termodynamicznej, oznaczono symbolami: $\text{G}_1$, $\text{G}_2$, $\text{G}_3$, $\text{G}_4$. Wielkości $p_1$ i $V_1$ są – odpowiednio – ciśnieniem i objętością gazu w stanie $\text{G}_1$.
Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V = \dfrac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową.

Układ dwóch soczewek umieszczonych na wspólnej osi optycznej można wykorzystać do zmiany szerokości (średnicy) wiązki światła, biegnącej równolegle do osi optycznej układu.
W zadaniach 9.1. i 9.2. przedstawiono różne przykłady takich układów soczewek.

Elektron został rozpędzony w polu elektrycznym (w próżni) od punktu $A$ do punktu $B$.
Wartość prędkości elektronu w punkcie $A$ była równa zero, a wartość prędkości elektronu w punkcie $B$ była równa $v = 2,00 \cdot 10^8\text{ m/s}$.
Przyjmij, że:

• energia spoczynkowa $E_0$ elektronu jest równa (w zaokrągleniu) $E_0 \approx 5,11 \cdot 10^5\text{ eV}$
• energię całkowitą elektronu w punkcie $B$ oznaczymy jako $E_B$.

Izotop fluoru $^{18}_{9}\text{F}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\beta^+$. Podczas rozpadu jądra tego izotopu fluoru powstają: cząstka $\beta^+$, jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X, oraz tzw. neutrino elektronowe $\nu$
u. Neutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.
Masy jąder i cząstek uczestniczących w opisanym rozpadzie $\beta^+$, wyrażone w jednostkach atomowych, mają następujące wartości:
$m_F = 17,99600\text{ u}$ – masa jądra fluoru $^{18}_{9}\text{F}$
$m_X = 17,99477\text{ u}$ – masa powstałego jądra
$m_\beta = 0,00055\text{ u}$ – masa cząstki $\beta^+$
$m_$
u = 0,00000\text{ u} – masę neutrina pomijamy.
Informacja do zadania 11.1.
Próbka z izotopem $^{18}_{9}\text{F}$ jest badana przez licznik promieniowania, który pokazuje całkowitą liczbę rozpadów $\beta^+$ jąder tego izotopu fluoru po upływie danego czasu (od rozpoczęcia pomiaru). Liczbę jąder izotopu fluoru $^{18}_{9}\text{F}$, znajdujących się w próbce w chwili początkowej, oznaczymy jako $N_0$. Łączną liczbę jąder, które uległy temu rozpadowi po upływie czasu $t$ od chwili początkowej $t_0 = 0\text{ min}$, oznaczymy jako $N_r$.
Na wykresie poniżej przedstawiono zależność ilorazu $\dfrac{N_r}{N_0}$ od czasu $t$.