Matura CKE Maj 2025 – Fizyka Rozszerzona

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej.
Do analizy zadań 1.1. i 1.2. przyjmij model zjawiska, w którym:

• ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu
• ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome
• przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$.

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej.
Do analizy zadań 1.1. i 1.2. przyjmij model zjawiska, w którym:

• ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu
• ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome
• przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g = 9,81 \text{ m/s}^2$.

Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie. Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $\beta$.
Przyjmij następujące dane:

• promienie walców są sobie równe: $R_1 = R_2 = R$
• masy walców są sobie równe: $m_1 = m_2 = m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
• momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami: $$I_1 = k_1 m R^2 \quad \text{oraz} \quad I_2 = k_2 m R^2$$ gdzie $k_1$ i $k_2$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_1$
  eq k_2.

Uwzględnij następujące założenia i warunki:

• siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie (zobacz rysunek poniżej). Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $\beta$.
Przyjmij następujące dane:

• promienie walców są sobie równe: $R_1 = R_2 = R$
• masy walców są sobie równe: $m_1 = m_2 = m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
• momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami:
  $$I_1 = k_1 m R^2 \quad \text{oraz} \quad I_2 = k_2 m R^2$$
  gdzie $k_1 \text{ i } k_2$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_1$
  eq k_2.

Rysunek (widok z boku)
Uwzględnij następujące założenia i warunki:

• siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Fale dźwiękowe o dużych częstotliwościach (np. ultradźwięki) mogą w ośrodkach rozchodzić się w postaci wąskich wiązek. Gdy wiązka fali ultradźwiękowej pada na granicę dwóch ośrodków, to – w zależności m.in. od kąta padania na tę granicę – może częściowo wniknąć do drugiego ośrodka i częściowo się odbić od granicy albo może całkowicie się odbić od granicy ośrodków.
W zadaniu przyjmij, że:

• wartość prędkości dźwięku w powietrzu jest równa $v_p = 340\text{ m/s}$
• wartość prędkości dźwięku w wodzie jest równa $v_w = 1450\text{ m/s}$.

Zwróć uwagę na to, że wartość prędkości dźwięku w wodzie jest większa od wartości prędkości dźwięku w powietrzu.

Fale dźwiękowe o dużych częstotliwościach (np. ultradźwięki) mogą w ośrodkach rozchodzić się w postaci wąskich wiązek. Gdy wiązka fali ultradźwiękowej pada na granicę dwóch ośrodków, to – w zależności m.in. od kąta padania na tę granicę – może częściowo wniknąć do drugiego ośrodka i częściowo się odbić od granicy albo może całkowicie się odbić od granicy ośrodków.
W zadaniu przyjmij, że:

• wartość prędkości dźwięku w powietrzu jest równa $v_p = 340 \text{ m/s}$
• wartość prędkości dźwięku w wodzie jest równa $v_w = 1450 \text{ m/s}$.

Zwróć uwagę na to, że wartość prędkości dźwięku w wodzie jest większa od wartości prędkości dźwięku w powietrzu.

Mały głośnik G1 jest źródłem kulistej fali dźwiękowej w powietrzu. Przyjmij, że energia tej fali dźwiękowej rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach od głośnika G1.
W zadaniach 4.1.–4.2. pomijamy efekty związane z odbiciem fali dźwiękowej od przeszkód w otoczeniu oraz z pochłanianiem tej fali w ośrodku.

Mały głośnik G1 jest źródłem kulistej fali dźwiękowej w powietrzu. Przyjmij, że energia tej fali dźwiękowej rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach od głośnika G1.
W zadaniach 4.1.–4.2. pomijamy efekty związane z odbiciem fali dźwiękowej od przeszkód w otoczeniu oraz z pochłanianiem tej fali w ośrodku.

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową.
Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

• najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_P = 8,5 \text{ au}$
• największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_A = 18,9 \text{ au}$
• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $r_Z = 1,0 \text{ au}$
• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z = 1,00 \text{ rok ziemski}$.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi.
Orbitę Chirona (z zachowaniem skali elipsy) zilustrowano na rysunku poniżej.

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową.
Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

• najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_p = 8{,}5\text{ au}$
• największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_A = 18{,}9\text{ au}$
• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $a_Z = 1{,}0\text{ au}$
• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z = 1{,}00\text{ rok ziemski}$.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi.

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ ustalonej masy gazu doskonałego.
Przyjmij, że:

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V = \dfrac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
• temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są – odpowiednio – równe $T_1, p_1 \text{ i } V_1$
• stany gazu: $A, B, C, X$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
• liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$.

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A \to B \to C \to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.
Przyjmij, że:

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V = \dfrac{3}{2} R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
• temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są – odpowiednio – równe $T_1$, $p_1$ i $V_1$
• stany gazu: $A$, $B$, $C$, $X$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
• liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$.

Za pomocą cienkiej soczewki szklanej S umieszczonej w powietrzu uzyskano ostry obraz $A'B'$ przedmiotu $AB$.
Na rysunku poniżej przedstawiono położenie przedmiotu $AB$ oraz położenie jego obrazu $A'B'$. Punkty $A \text{ i } A'$ leżą na osi optycznej soczewki S.
Przyjmij, że długość boku kratki na rysunku odpowiada w rzeczywistości $1 \text{ cm}$.

Za pomocą cienkiej soczewki szklanej S umieszczonej w powietrzu uzyskano ostry obraz $A'B'$ przedmiotu $AB$.
Na rysunku poniżej przedstawiono położenie przedmiotu $AB$ oraz położenie jego obrazu $A'B'$. Punkty $A$ i $A'$ leżą na osi optycznej soczewki S.
Przyjmij, że długość boku kratki na rysunku odpowiada w rzeczywistości $1\text{ cm}$.

Na rysunku poniżej przedstawiono dwie wybrane linie pola magnetycznego wytwarzanego przez długi, prostoliniowy przewodnik $\mathcal{P}$ z prądem umieszczony w próżni.
Na rysunku przedstawiono widok płaszczyzny prostopadłej do przewodnika $\mathcal{P}$.
Przyjmij następujące założenia oraz dane:

• linie pola są współśrodkowymi okręgami o promieniach $r_1$ i $r_2$, takich, że $r_2 = 4r_1$
• przewodnik $\mathcal{P}$ jest bardzo długi
• $\vec{B}_1$ jest wektorem indukcji magnetycznej w punkcie $P_1$
• pomijamy inne źródła pola magnetycznego
• długość boku kratki umieszczonej przy punktach $P_1$ i $P_2$ odpowiada umownej jednostce wartości wektora indukcji magnetycznej.

Na rysunku oznacz, w którą stronę płynie prąd w przewodniku $\mathcal{P}$. Wpisz odpowiedni symbol ($\odot$ lub $\otimes$) przy literze $\mathcal{P}$, gdzie:
$\odot$ – oznacza, że prąd płynie przed płaszczyznę rysunku (w stronę do patrzącego)
$\otimes$ – oznacza, że prąd płynie za płaszczyznę rysunku.
Narysuj wektor indukcji magnetycznej $\vec{B}_2$ w punkcie $P_2$. Zachowaj odpowiedni kierunek, właściwy zwrot oraz długość wektora, odpowiadającą jego wartości.

Na rysunku poniżej przedstawiono dwie wybrane linie pola magnetycznego wytwarzanego przez długi, prostoliniowy przewodnik $\mathcal{P}$ z prądem umieszczony w próżni.
Na rysunku przedstawiono widok płaszczyzny prostopadłej do przewodnika $\mathcal{P}$.
Przyjmij następujące założenia oraz dane:

• linie pola są współśrodkowymi okręgami o promieniach $r_1 \text{ i } r_2$, takich, że $r_2 = 4r_1$
• przewodnik $\mathcal{P}$ jest bardzo długi
• $\vec{B}_1$ jest wektorem indukcji magnetycznej w punkcie $P_1$
• pomijamy inne źródła pola magnetycznego
• długość boku kratki umieszczonej przy punktach $P_1 \text{ i } P_2$ odpowiada umownej jednostce wartości wektora indukcji magnetycznej.

Na rysunku powyżej oznacz, w którą stronę płynie prąd w przewodniku $\mathcal{P}$.
Wpisz odpowiedni symbol ( $\odot$ lub $\otimes$ ) przy literze $\mathcal{P}$, gdzie:
$\odot$ – oznacza, że prąd płynie przed płaszczyznę rysunku (w stronę do patrzącego)
$\otimes$ – oznacza, że prąd płynie za płaszczyznę rysunku.
Narysuj wektor indukcji magnetycznej $\vec{B}_2$ w punkcie $P_2$. Zachowaj odpowiedni kierunek, właściwy zwrot oraz długość wektora, odpowiadającą jego wartości.

Wiązka niespolaryzowanego światła o natężeniu $I$ pada prostopadle na polaryzator liniowy $\mathcal{P}_1$. Światło, które przeszło przez polaryzator $\mathcal{P}_1$, dalej pada prostopadle na polaryzator liniowy $\mathcal{P}_2$. Opisaną sytuację przedstawia rysunek 1. Przyjmij następujące warunki i oznaczenia:

• natężenie światła po przejściu przez $\mathcal{P}_1$ oznaczymy jako $I_1$, przy czym $I_1 = \dfrac{1}{2} I$
• natężenie światła po przejściu przez $\mathcal{P}_2$ oznaczymy jako $I_2$
• kąt między osiami polaryzacji $O_1$ oraz $O_2$ polaryzatorów $\mathcal{P}_1$ oraz $\mathcal{P}_2$ oznaczymy jako $\alpha$
• amplitudę fali elektromagnetycznej (amplitudę natężenia pola elektrycznego) po przejściu przez $\mathcal{P}_1$ oznaczymy jako $\vec{E}_1$, a po przejściu przez $\mathcal{P}_2$ oznaczymy jako $\vec{E}_2$. Wartości tych wektorów oznaczymy – odpowiednio – jako $E_1$ oraz $E_2$.

Na rysunku 2. przedstawiono widok w płaszczyźnie równoległej do obu polaryzatorów. Oznaczono na nim osie polaryzacji $O_1$ oraz $O_2$ obu polaryzatorów oraz wektor $\vec{E}_1$.

Wiązka niespolaryzowanego światła o natężeniu $I$ pada prostopadle na polaryzator liniowy $\mathcal{P}_1$. Światło, które przeszło przez polaryzator $\mathcal{P}_1$, dalej pada prostopadle na polaryzator liniowy $\mathcal{P}_2$. Opisaną sytuację przedstawia rysunek 1. Przyjmij następujące warunki i oznaczenia:

• natężenie światła po przejściu przez $\mathcal{P}_1$ oznaczymy jako $I_1$, przy czym $I_1 = \dfrac{1}{2}I$
• natężenie światła po przejściu przez $\mathcal{P}_2$ oznaczymy jako $I_2$
• kąt między osiami polaryzacji $O_1 \text{ oraz } O_2$ polaryzatorów $\mathcal{P}_1 \text{ oraz } \mathcal{P}_2$ oznaczymy jako $\alpha$
• amplitudę fali elektromagnetycznej (amplitudę natężenia pola elektrycznego) po przejściu przez $\mathcal{P}_1$ oznaczymy jako $\vec{E}_1$, a po przejściu przez $\mathcal{P}_2$ oznaczymy jako $\vec{E}_2$. Wartości tych wektorów oznaczymy – odpowiednio – jako $E_1 \text{ oraz } E_2$.

Na rysunku 2. przedstawiono widok w płaszczyźnie równoległej do obu polaryzatorów. Oznaczono na nim osie polaryzacji $O_1 \text{ oraz } O_2$ obu polaryzatorów oraz wektor $\vec{E}_1$.

Pewna cząstka porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ z prędkością o wartości $v = \dfrac{1}{2} c$, gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni.
Energia kinetyczna tej cząstki w układzie odniesienia $\mathcal{U}$ jest równa $E_k = 79,05 \text{ keV}$.
Oblicz $E_0$ – energię spoczynkową tej cząstki. Zapisz obliczenia.
Wynik podaj w $\text{keV}$, zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Pewna cząstka porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ z prędkością o wartości $v = \dfrac{1}{2} c$, gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni.
Energia kinetyczna tej cząstki w układzie odniesienia $\mathcal{U}$ jest równa $E_k = 79{,}05\text{ keV}$.
Oblicz $E_0$ – energię spoczynkową tej cząstki. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w $\text{keV}$, zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Rozważamy przejścia elektronu pomiędzy stanami (poziomami) energetycznymi w atomie wodoru. Przejście elektronu ze stanu energetycznego o numerze $n$ i energii $E_n$ do stanu energetycznego o numerze $k$ i energii $E_k$ oznaczymy w zadaniu jako $n \to k$.

Rozważamy przejścia elektronu pomiędzy stanami (poziomami) energetycznymi w atomie wodoru. Przejście elektronu ze stanu energetycznego o numerze $n$ i energii $E_n$ do stanu energetycznego o numerze $k$ i energii $E_k$ oznaczymy w zadaniu jako $n \rightarrow k$.

Izotop plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\alpha$.
Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $\alpha$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X.
Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $\alpha$:

• iloraz masy jądra pierwiastka X i masy cząstki $\alpha$ wynosi w zaokrągleniu $$\dfrac{m_X}{m_\alpha} \approx 58{,}5$$
• w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ było nieruchome
• wartości prędkości jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$ – powstałych po rozpadzie jądra plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ – są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.

Izotop plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\alpha$.
Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $\alpha$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X.
Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $\alpha$:

• iloraz masy jądra pierwiastka X i masy cząstki $\alpha$ wynosi w zaokrągleniu
  $$\dfrac{m_X}{m_\alpha} \approx 58,5$$
• w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ było nieruchome
• wartości prędkości jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$ – powstałych po rozpadzie jądra plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ – są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.