Informator CKE 2025 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $2024 : \left(1 - \dfrac{1}{2025}\right) - \left(1 - \dfrac{2025}{2024}\right) : \dfrac{1}{2024}$ jest równa

Pensja pana X jest o $50\%$ wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o $40\%$ niższa od średniej krajowej.
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.
1. Pensja pana X jest wyższa od pensji pana Y

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że $a < b$ oraz obie są niepodzielne przez $3$.
Udowodnij, że liczba $a^2 + 11ab + b^2$ jest podzielna przez $9$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\dfrac{\sqrt[3]{250} + \sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250} - \sqrt[3]{54}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $|\sqrt{5} - 1| - 3|2 - \sqrt{5}|$ jest równa

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi $3\%$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po $10$ latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do $1\%$)

Na wykresie przedstawiono zależność $\log K(t)$, gdzie $K(t)$ jest liczbą bakterii w próbce po czasie $t$ wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili $t = 0$, liczba $K$ bakterii była równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_2 \left[ (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^4 \cdot (\sqrt{2})^8 \right]$ jest równa

Dane są liczby $a = \log_2(3\sqrt{5} + \sqrt{13})$ oraz $b = \log_2(3\sqrt{5} - \sqrt{13})$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $a + b$ jest równa

Dane są dwie liczby $x$ i $y$, takie że iloraz $\dfrac{x}{y}$ jest równy $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{x+y}{x}$.
Wynik podaj w postaci $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$, gdzie $a$, $b$, $c$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Dane są liczby $a = \sqrt{5} - 2$ oraz $b = \sqrt{5} + 2$.
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{a \cdot b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ dla podanych $a$ i $b$.

Dana jest liczba $x = a - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$, gdzie $a$ należy do zbioru liczb rzeczywistych.
W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ oraz $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$ są niewymierne.
Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.
Liczba $x$ jest wymierna dla

Dane jest wyrażenie $W(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 4} \cdot \dfrac{x - 2}{x}$.
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Wartość wyrażenia $W(x)$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.	P	F
2.	Jeżeli wartość wyrażenia $W(x)$ jest określona, to $W(x) = \dfrac{2x}{x + 2}$.	P	F

Dana jest nierówność
$$\dfrac{2x - 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} \ge \dfrac{1}{6}$$
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dane jest równanie
$$\dfrac{2}{2x + 1} = \dfrac{x - 1}{x + 2}$$
Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.

Rozważmy takie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, które spełniają warunki:
$$a$$
eq 0, b
eq 0 \quad \text{oraz} \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + 3ab + b^2).
Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\dfrac{a}{b}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$, spełniających powyższe warunki.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań $\begin{cases} x + 2y = 1 \ -4x - 8y = -4 \end{cases}$

Funkcja $y = f(x)$ jest określona za pomocą tabeli

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-3$	$2$	$0$	$1$	$0$	$2$	$1$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ jest symetryczny względem osi $Oy$.	P	F
Największa wartość funkcji $f$ jest równa $3$.	P	F

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresy funkcji liniowych $f(x) = (2m + 7)x + 5$ oraz $g(x) = 3x$ nie mają punktów wspólnych dla

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:
$$f(x) = \begin{cases} 2x - 6 & \text{dla } x \le 2 \ x - 4 & \text{dla } x > 2 \end{cases}$$
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = x^2 - b - 2\sqrt{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest $x = \sqrt{2} + 1$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest równy

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 3x^2 + 2x + m$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Współczynnik $m$ jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja $f$

A.	ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,	ponieważ	1.	$4 - 12m > 0$
B.	ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,		2.	$4 - 12m = 0$
C.	nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,		3.	$4 - 12m < 0$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności $f(x) > 2$.
..................

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe.
1. Największa wartość funkcji $f$ jest równa .................. .
2. Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[6, 8]$ jest równa .................. .

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{dla } x \in [-8, 0] \ 4 & \text{dla } x \in (0, 4] \ -2x + 12 & \text{dla } x \in (4, 6) \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział .................. .
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział .................. .
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział .................. .
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 4$ jest przedział .................. .

Dana jest funkcja $y = f(x)$, której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok.
Funkcje $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ następująco:
$$y = g(x) = f(x + 2) \qquad y = h(x) = f(x) + 2$$
Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji $g$ oraz $h$.
Każdej z funkcji $y = g(x)$ oraz $y = h(x)$ przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A–F.

Nr zadania	Funkcja	Rysunek
29.1.	$y = g(x)$
29.2.	$y = h(x)$

Dana jest funkcja kwadratowa $y = f(x)$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A–D to wzór funkcji $f$.
Funkcja kwadratowa $y = f(x)$ jest określona wzorem

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej $y = g(x)$ należy punkt o współrzędnych $(2, -6)$. Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 3$, a jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest $x_1 = 1$.
Wyznacz wzór funkcji $g$ w postaci iloczynowej.

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli.
Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości $x_k = 7,01\text{ m}$, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej.
Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie $x_0 = 0, y_0 = 2,50\text{ m}$.
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:
$$y = -0,174x^2 + 1,3x + 2,5$$
Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do $0,01\text{ m}$)

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli.
Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości $x_k = 7,01\text{ m}$, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej.
Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie $x_0 = 0, y_0 = 2,50\text{ m}$.
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:
$$y = -0,174x^2 + 1,3x + 2,5$$
Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli.
Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości $x_k = 7,01\text{ m}$, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej.
Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie $x_0 = 0, y_0 = 2,50\text{ m}$.
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:
$$y = -0,174x^2 + 1,3x + 2,5$$
Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy $0,12\text{ m}$.
Oblicz współrzędną $x$ środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Czas $T$ połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder $N(t)$ izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie $t$, licząc od chwili $t_0 = 0$, wyraża się zależnością wykładniczą:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T}}$$
gdzie $N_0$ jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej $t_0 = 0$.
Na poniższych rysunkach 1.–4. przedstawiono wykresy zależności, z których dokładnie jeden poprawnie ilustruje $N(t)$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wykres zależności wykładniczej $N(t)$ – opisanej we wstępie do zadania – przedstawiono na

Czas $T$ połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder $N(t)$ izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie $t$, licząc od chwili $t_0 = 0$, wyraża się zależnością wykładniczą:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T}}$$
gdzie $N_0$ jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej $t_0 = 0$.
Czas połowicznego rozpadu węgla $^{14}\text{C}$ to około $5700$ lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla $^{14}\text{C}$ w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi $\dfrac{1}{16}$ masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.
Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem rekurencyjnym:
$$\begin{cases} a_1 = -2 \ a_{n+1} = n \cdot a_n + 4 \quad \text{dla każdej liczby naturalnej } n \ge 1 \end{cases}$$
Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem ogólnym $a_n = 4n - 9$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = n^2 - n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ jest

A.	rosnący,	ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$	1.	różnica $a_{n+1} - a_n$ jest liczbą ujemną.
B.	malejący,		2.	różnica $a_{n+1} - a_n$ jest równa zero.
C.	stały,		3.	różnica $a_{n+1} - a_n$ jest liczbą dodatnią.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{1}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 0.
Oblicz wartość $m$, dla której liczby $f(m)$, $f(1)$, $f(2)$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości $10\text{ m}$ (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie $580$ metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.
Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Dany jest kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$ oraz $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Dla kąta o mierze $\alpha$ spełnione jest równanie: $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$.	P	F
2.	Dla kąta o mierze $\alpha$ spełnione jest równanie: $|\text{tg}\alpha| = \dfrac{3}{4}$.	P	F

W trójkącie $ABC$ dane są długości dwóch boków $|AB| = 12, |BC| = 8$ oraz miara kąta $|\measuredangle ABC| = 60^\circ$.
Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka $A$.

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$.
Środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej).
Długości boków $AB$ i $AC$ są równe odpowiednio $|AB| = 3r$ oraz $|AC| = \sqrt{3}r$.
Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta $ABC$.

Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$. Długość odcinka $SA$ jest równa $10$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ do boku $BC$ jest równa

Dane są okrąg o środku $S$ oraz prosta $k$ styczna do okręgu w punkcie $A$.
Odcinek $AB$ jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą $k$ a cięciwą $AB$ jest równa $50^\circ$. Punkt $C$ leży na okręgu. Kąt wpisany $BCA$ jest ostry.
Sytuację przedstawia rysunek poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta wpisanego $BCA$ jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach $|AC| = 12, |BC| = 5, |AB| = 13$.
Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość $x$ punktu $P$ od przeciwprostokątnej $AB$ jest równa

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta wybrano punkt $D$, taki, że $|AD| = \dfrac{1}{4}|AB|$, a na boku $BC$ wybrano taki punkt $E$, że $|BE| = \dfrac{1}{5}|BC|$ (zobacz rysunek poniżej).
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $20$.
Oblicz pole trójkąta $DBE$.

Zadanie 46. (0–3)
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.
Rozważmy trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $A$. Niech każdy z boków tego trójkąta: $CA$, $AB$, $BC$ będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: $CAW_1$, $ABW_2$, $BCW_3$. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: $W_1$, $W_2$, $W_3$.
Pola trójkątów: $CAW_1$, $ABW_2$, $BCW_3$ oznaczymy odpowiednio jako $P_1$, $P_2$, $P_3$.
Udowodnij, że
$$P_3 = P_1 + P_2$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 47. (0–3)
Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AD| = 2$. Kąt $BDA$ ma miarę $\alpha$, taką, że $\operatorname{tg} \alpha = 2$.
Przekątna $BD$ i prosta przechodząca przez wierzchołek $C$ prostopadła do $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka $CE$.

Zadanie 48. (0–2)
Trzy różne punkty $A$, $B$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu. Styczne $k$ i $l$ do tego okręgu, odpowiednio w punktach $A$ i $B$, przecinają się w punkcie $C$ (zobacz rysunek poniżej).
Wykaż, że trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 49. (0–3)
Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości: $|AB| = 4$, $|BC| = 5$, $|AC| = 6$.
Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $ABC$.

Zadanie 50. (0–1)
Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $A$. Proste $m$, $n$ i $s$ są wzajemnie równoległe i przecinają obie proste $k$ i $l$ w punktach $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że: $|BC| = 30$, $|CD| = 20$, $|GF| = 21$.
Oblicz długość odcinka $FE$.

Zadanie 51. (0–1)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dany jest okrąg $O$ określony równaniem:
$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–G.
1. Środek $S$ okręgu $O$ ma współrzędne

Zadanie 52. (0–1)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są punkty $A = (1, 2)$ oraz $B = (3, 7)$.
Punkty $A_O$ oraz $B_O$ są odpowiednio obrazami punktów $A$ i $B$ w symetrii środkowej o środku w punkcie $O = (0, 0)$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A_O$ i $B_O$ jest równy

Zadanie 53. (0–1)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dany jest trapez $ABCD$, w którym boki $AB$ i $CD$ są równoległe oraz $C = (3, 15)$. Wierzchołki $A$ i $B$ tego trapezu leżą na prostej o równaniu $3x - y + 10 = 0$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Bok $CD$ tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

Zadanie 54. (0–3)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, punkty $A = (-1, -5)$, $B = (2, -7)$, $C = (6, 9)$ i $D = (-2, 9)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$.
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta $ABCD$.

Zadanie 55. (0–4)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S = \left(\dfrac{11}{2}, \dfrac{17}{2}\right)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = x - 2$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 3x - 6$.
Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.

Zadanie 56. (0–4)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (2, 8)$ oraz $B = (10, 2)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABP$, w którym $|AP| = |BP|$. Wierzchołek $P$ leży na osi $Ox$ układu współrzędnych.
Oblicz współrzędne punktu $P$ oraz długość odcinka $AP$.

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym prostokąty $ABCD$ i $EFGH$ są jego podstawami. Odcinek $BH$ jest przekątną tego prostopadłościanu.
Zadanie 57.1. (0–1)
Na którym rysunku prawidłowo oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy przekątną $BH$ prostopadłościanu a jego ścianą boczną $ADHE$? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym prostokąty $ABCD$ i $EFGH$ są jego podstawami. Odcinek $BH$ jest przekątną tego prostopadłościanu.
Zadanie 57.2. (0–4)
W prostopadłościanie $ABCDEFGH$ dane są:
$$\operatorname{tg} \beta = \dfrac{9}{7} \qquad |BG| = 2\sqrt{130} \qquad |BH| = 2\sqrt{194}$$
gdzie odcinek $BH$ jest przekątną prostopadłościanu, odcinek $BG$ jest przekątną ściany bocznej $BCGF$, $\beta$ jest miarą kąta $GBC$. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $ABCDEFGH$.

Zadanie 58. (0–1)
Dane są dwa prostopadłościany podobne: $\mathcal{B}_1$ oraz $\mathcal{B}_2$. Objętość prostopadłościanu $\mathcal{B}_1$ jest równa $V$, a objętość prostopadłościanu $\mathcal{B}_2$ jest równa $27V$. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $\mathcal{B}_1$ jest równe $P$.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $\mathcal{B}_2$ jest równe

A.	$27P$,	ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy	1.	stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.
B.	$9P$,		2.	pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
C.	$3\sqrt{3}P$,		3.	kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy $d = 20\text{ cm}$, wysokości $H = 25\text{ cm}$ i tworzącej $l$.
Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską $ABS$ o kształcie wycinka koła o promieniu $l$ i środku $S$ (zobacz rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek $SB$ z odcinkiem $SA$ (zobacz rysunek 2.).
Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.
Zadanie 59.1. (0–1)
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do $1^\circ$)

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy $d = 20\text{ cm}$, wysokości $H = 25\text{ cm}$ i tworzącej $l$.
Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską $ABS$ o kształcie wycinka koła o promieniu $l$ i środku $S$. Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek $SB$ z odcinkiem $SA$.
Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.
Zadanie 59.2. (0–3)
Oblicz miarę kąta $BSA$ wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta $BSA$ podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Zadanie 60. (0–4)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$, a krawędź podstawy ma długość równą $6\sqrt{3}$.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 61. (0–1)
Pole powierzchni bocznej walca jest równe $16\pi$, a promień jego podstawy ma długość $2$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego walca jest równa

Zadanie 62. (0–2)
Pojedynczy znak w piśmie Braille'a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille'a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille'a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.
Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille'a.

Andrzej ma w szafie $4$ koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; $3$ pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz $5$ par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie.
Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.
Zadanie 63.1. (0–1)
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest równa

Andrzej ma w szafie $4$ koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; $3$ pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz $5$ par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie.
Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.
Zadanie 63.2. (0–3)
Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski.